Räta linjen Ma2c

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
[redigera]
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Räta linjen

Centralt innehåll:

Begreppet kurva, räta linjens och parabelns ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.

Detta avsnitt kommer att behandla:

  • Repetition och problemlösning
  • Att hitta k och m (algebraiskt)
  • Riktningskoefficienten
  • Parallella och vinkelräta linjer


Grafiskt

Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden?

En rät linje går mellan punkterna.

  1. Vad har linjen för lutning? k-värdet
  2. Vad betyder et att k är negativt
  3. Var skär den y-axeln? m-värdet
  4. Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m

Beräkna k och m algebraiskt

hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?

Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.

Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.

Definition
Att hitta räta linjens ekvation

För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:

  1. två punkter på linjen eller
  2. en punkt på linjen och dess lutning


En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.

Riktningskoefficienten

Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:

Slope picture
Definition
Riktningskoefficienten


[math] k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} [/math]


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png

Hitta m

Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.

m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.

[math] y = kx + m [/math]

Då är det ju bara m som är obekant.

Använd y = kx + m oxg sätt in koordinaterna för en punkt samt värdet för k. Lös ut m i ekvationen.

Parallella och vinkelräta linjer

Parallella linjer

Parallel Lines
Egenskaper

Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.

[math] k_1 = k_2 [/math]

Vinkelräta linjer

Egenskaper

Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.

[math] k_1 \cdot k_2= -1 [/math]


Bestäm k-värdet

Exempel
Bestäm k

Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1,2) och (4,-3)

Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:

[math] k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} [/math]


Hitta m

Exempel
Bestäm m
[math] k = 2 [/math] och en punkt är [math] (3,5)[/math]

Sätter man in värdena så får man:

[math] 5 = 2 * 3 + m [/math]

Vilket ger:

[math] m= 5 -2 * 3 [/math]
[math] m= 5 -6 [/math]
[math] m= -1 [/math]

Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som

[math] y= 2 x - 1 [/math]


Problemlösning

Exempel
Billig städning + uträkning till exemplet

Uppgift

Erika anställer en städare och får betala för 4 timmar 450 kr och för 9 timmar 990 kr Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala?

Uträkning

Tänk så här:

Kostnaden ökar med [math]990kr-450kr= 540kr [/math]

Tiden ökar med [math]9-4= 5 timmar[/math]

[math]\frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr/timme[/math]

Avgiften per timme blir[math] = 108 kr[/math]


Bevis för att vinkelräta linjer innebär att [math]k_1 \cdot k_2 = -1 [/math]

Om det är 90o mellan linjerna så gäller att:

[math]\alpha = \beta [/math]

Då är enligt figuren (likformighet eller tangens)

[math]\frac{a}{b} = \frac{c}{d} [/math] (1)

Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna [math] k_1[/math] och [math] k_2[/math]

[math]k_1 = \frac{a}{b} [/math]

och

[math]k_2 = - \frac{d}{c} [/math] eller omskrivet [math]-\frac{1}{k_2} = \frac{c}{d} [/math]

Om vi jämför med formel (1) ovan ser vi att

[math]k_1 = -1 \cdot \frac{1}{k_2} [/math]

om vi skriver om det har vi den trevligare formen

[math]k_1 \cdot k_2 = -1 [/math]
V.S.B.

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Räta linjens ekvation

Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare


Vi ska göra en laboration med ett snöre. Ett snöre per person.

Ställ upp en modell för snörets längd som funktion av antalet knutar.

Följdfrågor

  1. Hur lång är en knut?
  2. Vilken definnitions- respektive värdemängd har modellen?

Rdovisa dina mätdata i tabeller och grafer samt skriv en redogörelse för modellens giltighet och felkällor. Använd Excel.

Obligatoriska uppgifter

Är linjen rät?

Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje?

Vinkelräta linjer

Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5.

Interaktiv övning i GeoGebra

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Interaktiv övning


Bra uppgifter

Khan-logo-vertical-transparent.png
Öva på Khan: Räta linjens ekvation


Repetion och enklare uppgifter

Repetition och problemlösning

Problemlösning - Diskutera

Jobba själv

20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Uppgift: Kostnaden för att hyra skidor i Romme

1. Priset för en vuxen att hyra skidutrustning under en dag är 290 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 910 kr. Gör en modell för detta och beräkna priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.

2. Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden? http://www.rommealpin.se/priser-1__1053

Facit: (klicka expandera till höger)

Se ett diagram över Rommepriserna 2007 här.
Rommepriser.png

Ser du något som kunde gjorts bättre när det gäller skalan på x-axeln.



Att hitta k och m (algebraiskt)

Uppgift

En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2).

Bestäm räta linjens ekvation.

Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer räta linjens ekvation när man känner två punkter.

Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.


Latex-tips

<math>
\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot 
</math>

Riktningskoefficienten

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Slope

Tim Brzezinski (GeoGebra-guru) har skapat en GeoGebrabok med 22 övningar. Bläddra igenom dem och gör till exempel Quiz 1-3.


Parallella och vinkelräta linjer

20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Uppgift: Bevis vinkelräta linjer

Bevisa sambandet [math] vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1[/math] genom att:

  1. Visa om vinkelräta linjer [math] \Rightarrow k_1 * k_2 = -1[/math]
  2. Visa om [math]k_1 * k_2 = -1 \Rightarrow[/math] vinkelräta linjer
Grid perp.png

Facit: (klicka expandera till höger)

Bevis.png



Programmering - räta linjens k- och m-värde

Python logo and wordmark.svg
Programmeringsuppgift

Räta linjen med Python

Sway logo.svg
Swayen till detta avsnitt: Räta linjen


20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Wikipedia Ekvation



Allmän form (linjens ekvation)

Wikipedia skriver om injär_ekvation

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

[math] Ax + By + C = 0\,[/math]

eller på standardform:

[math] A x +By = C.\,[/math]

Enpunktsformen

Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt [math](x_0, y_0)[/math] på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

[math] y-y_0 = k(x-x_0)\,[/math]

Problemlösning

Hitta k och m

Riktningskoefficienten

Parallella och vinkelräta linjer

Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.
Bevis på engelska om vinkelräta linjer. Observera att amerikaner använder m i stället för k!

Exit ticket