Begreppen sekant och tangent

Teori

Aktivitet 1

Aktivitet 2

Lär mer

[redigera]

En kurvas lutning - grafiskt

Rita en funktion av tredje graden i GeoGebra.

Använd verktyget för att lägga in en tangent i punkten (a, f(a)) där a är en lämplig glidare.

Hur kan man beskriva tangentens relation till grafen?

Vad finns det för samband mellan tangentens lutning och derivatan av funktionen?

Sekanten

En linje som skär en kurva i två punkter kallas sekant.

Definition

Bild

Om punkterna ligger nära varandra kommer sekanten att ha ungefär samma lutning som en tangent mellan punkterna.

En kurvas lutning - algebraiskt

Definition
En kurvas lutning i en viss punkt tangentens lutning är kurvans lutning i denna punkt. Tangentens lutningen i punkten där [math]\displaystyle{ x = a }[/math] skrivs: [math]\displaystyle{ k = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} }[/math] Detta är derivatan i punkten [math]\displaystyle{ (a, f(a)) }[/math]

Viktigt

Begrepp Lim är förkortning av limes som betyder gräns på latin. Tänk dig en fix punkt på en kurva och en rörlig punkt med koordinaterna. Linjen genom de två punkterna har lutningen: [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(3)}{x-3} }[/math] Låt sedan [math]\displaystyle{ x }[/math] minska så att [math]\displaystyle{ x }[/math] närmar sig 3. Då kommer linjen att tangera kurvan i punkten [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math]. Den linjen kallas för tangent. Tangentens lutningen i punkten där [math]\displaystyle{ x = 3 }[/math] skrivs: [math]\displaystyle{ k = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x-3} }[/math]

[redigera]

Laborera med sekanten och derivatan

[redigera]

GeoGebran visar sekanten och tangenten

Dra i glidaren för och se vad som händer med senaten när h går mot noll.

Läs hela GGB-övningen här.

[redigera]

Film

Läs på mer

Repetition: Repetera gärna Räta linjen från Ma2c.