Ekvationssystem Ma2c

Mål för undervisningen Ekvationssystem

Här undersöker vi ekvationssystem med två eller tre obekanta. Vi kommer att lära oss lösa ekvationssytem grafiskt, med substitutuin samt med additions- och subtraktionsmetoden.

Teori - Ekvationssystem (grafiskt)

Ma2C: Ekvationssytem , sidan s. 116-119

Två räta linjer = Ekvationssystem

Här har vi två ekvationer. Det är ekvationer med x och y. Var och en är en ekvation för en rät linje. De har skrivits på en form där variablerna (x och y) står till vänster och numeriska värdena (siffrorna) till höger.

Ekvationerna har döpts med ett nyummer som skrivs inom parentes, (1) och (2). Vi döper ekvationerna för att kunna beskriva hur vi jobbar med dem.

Det kallas för ett ekvationssytem: Wikipedia skriver om Ekvationssystem

Exempel

Ekvationssystem

Bestäm skärningspunkterna för linjerna [math]\displaystyle{ x + y {{=}} 1\, }[/math] och [math]\displaystyle{ x - y {{=}} 1 \, }[/math], med andra ord, sök en lösning till ekvationssystemet

[math]\displaystyle{ \begin{cases} &x + y {{=}} 1 \quad (1)\\ &x - y {{=}} 1 \quad (2) \end{cases} }[/math]

Första steget är att reducera de två ekvationerna med de två obekanta till en ekvation som endast innehåller en obekant. Detta kan göras genom att skriva om ekvation (B) till

[math]\displaystyle{ y {{=}} x - 1.\, }[/math]

Genom att sätta in detta värde på y i ekvation (A) övergår ekvation (A) till

[math]\displaystyle{ x + (x - 1) {{=}} 1\, }[/math]

Denna ekvation har lösningen [math]\displaystyle{ x {{=}} 1. }[/math] Då [math]\displaystyle{ y {{=}} x-1, }[/math] följer att [math]\displaystyle{ y {{=}} 0. }[/math]

Det finns därför bara en skärningspunkt för de två linjerna A och B: den punkt vars x-koordinat är x = 1 och vars y-koordinat är y = 0.

Man kan lösa ekvationssystem och få fram vilken punkt som gäller för båda ekvationerna. man kan lösa detta algebraiskt eller grafiskt.

Uppgift
Gör bokens exempel i GeoGebra Använd GeoGebra för att skapa en grafisk lösning till ekvationssystemet i exemplet ovan.

Additionsmetoden

Ma2C: s. 123 -126, sidan Additionsmetoden

Additionsmetoden kan användas för att lösa ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta variabler x och y. Man måste då eliminera en av de obekanta variaberna genom att multiplicera ekvationerna med lämpliga tal så att antingen x eller y försvinner om man adderar ekvationerna.

Vad kan man göra med två ekvationer?

Ekvationer kan manipuleras. Addera på båda sidorna.
Multiplicera. Mult med invers = div.
Addera en negativ term = subtraktion.
Kan man addera ekvationer? Ja

Fråga?

Kan man addera så att en variabel försvinner?

Skriv om två ekvationer så att y är fritt sätt lika. Vad innebär det för y? En punkt med x y som satisfierar båda originallektionerna.

Test: Rita båda ekvationerna i Ggb.

Exempel

Additionsmetoden

[math]\displaystyle{ \begin{cases} &x + y = 5, \quad (1)\\ &2x − 3y = − 5 \quad (2) \end{cases} }[/math]

Om man vill eliminera x kan man multiplicera den övre ekvationen med -2.Det ger då att

[math]\displaystyle{ − 2x − 2y = − 10 }[/math]

Om man sedan adderar vänsterleden och högerleden får man att

[math]\displaystyle{ − 2x − 2y + 2x − 3y = − 10 − 5 }[/math]

Det ger att

[math]\displaystyle{ − 5y = − 15. }[/math]

Om man löser ut y får man att [math]\displaystyle{ y = 3 }[/math]. Man kan sedan sätta in detta y i en av de ursprungliga ekvationerna. Om man väljer den första får man att

[math]\displaystyle{ x + 3 = 5 }[/math]

och det ger att [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math]. Lösningen till ekvationssystemet blir

[math]\displaystyle{ x = 2,y = 3 }[/math]

Källa: Wikipedia

Ersättningsmetoden

Ma2C: Ersättningsmetoden, sidan 120-122

Ett annat namn för ersättningsmetoden är substitutionsmetoden.

Vad innebär det att två linjer skär varandra? Jo de har samma x-värden och y-värden.

Y är lika

[math]\displaystyle{ \begin{cases} & x + 5y = 20, \quad (1)\\ & -x +y = − 2 \quad (2) \end{cases} }[/math]

Om y-värdena är lika i skärningspunkten kan vi göra lika dant algebraiskt:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} & 5y = 20-x, \quad (1)\\ & y = x − 2 \quad (2) \end{cases} }[/math]

eller

[math]\displaystyle{ \begin{cases} & y = 4- \frac{x}{4}, \quad (1)\\ & y = x − 2 \quad (2) \end{cases} }[/math]

det betyder att vi kan sätta:

Ekvationssystem med tre obekanta

Ma2C: s. 133-134, sidan Tre obekanta

Aktivitet

Välj metod

Uppgift
Reflektera och välj Vilken metod tycker du är bäst, additionsmetoden eller ersättningsmetoden?

Använd glidare i geoGebra

I denna uppgift kan du använda glidarna för att lösa tre uppgifter.

Uppgift
Glidare ger dig ett dynamiskt verktyg för att lösa ekvationssystem Lös de tre uppgifterna som finns på denna sida i GeoGebraTube.

Kommentar: Vid testning verkar det saknas glidare för högerledet i ekvationerna.

Lär mer

Swayen till detta avsnitt: Ekvationssystem

läromedel: Linjära ekvationssystem

Läs om Linjära ekvationssystem

Uppgift
Gör gärna denna diagnos på ekvationssystem Veckodiagnos 18