Derivatan av logaritmfunktionen

Definition
Derivatan av ln x Om [math]\displaystyle{ f(x) = \ln x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x} }[/math]

Bevis

[math]\displaystyle{ y= \ln x }[/math]

är liktydigt med att

[math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]

Derivera nu [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.

[math]\displaystyle{ y' \cdot e^y = 1 }[/math]

Stuva om i ekvationen så får vi:

[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{e^y} }[/math]

Men [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] så

[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{x} }[/math]

V.S.B.

Detrivatan av tiologaritmen

Definition
Derivatan av lg x Om [math]\displaystyle{ f(x) = \lg x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x \cdot \ln 10} }[/math]