Räkna med komplexa tal

Potenser av i

potens av [math]\displaystyle{ i }[/math]	resultat
[math]\displaystyle{ i }[/math]	[math]\displaystyle{ i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^3 = i \cdot i^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 \cdot i = - \: i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^4 = i^2 \cdot i^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 \cdot -1 = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math]

Magnus Rönnholm, Creative Commons

Eftersom multiplikation med konjugatet ger ett reellt tal kan vi förenkla bråk med komplexa tal i nämnaren.

[math]\displaystyle{ z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2 }[/math]

Skriv om detta på forman a + b i

[math]\displaystyle{ \frac{2-i}{3+2 i} }[/math]

då förlänger vi med konjugatet

[math]\displaystyle{ \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)} = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i + 2 (- 1)}{9+4} = }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{ 6-7 i - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} - \frac{7 }{13} \: i }[/math]

Fundera på denna uppgift:

z_2 är en spegling av z_1 i y-axeln. Vad kan man säga om produkten av z_1 z_2