Tips: Parabelns bana

Uppgiften är formulerad så att vi söker en parabel, som modell för en kastbana med längden 110 m och högsta höjden 35 m.

Om kastet startar i punkten (0,0) är nedslaget i ( 110,0) och toppen i (55,35 ) av symmetriskäl, ty parabler i den allmän formen har alltid en symmetriaxel parallell med y-axeln.

[math]\displaystyle{ y = ax^2 + bx + c }[/math]

Eftersom dess topp ligger i punkten (55,35) gäller att

[math]\displaystyle{ y - 35 = a(x-55)^2 = a\cdot (x^2 - 110x + 55^2) }[/math]

och eftersom den går genom (0,0) fås att

[math]\displaystyle{ -35 = a \cdot 55^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ a = -\frac{35}{55^2}=-\frac{7}{605} }[/math]

Eftersom nollställena är x=0 och x=110 är den allmänna formen

[math]\displaystyle{ y = a\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605}\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{605} x^2 + \frac{14}{11} x \approx -0,01157 x^2 + 1,2727 x }[/math]

Mera korrekt modell kan härledas med kunskaper i fysik

Om vi kan utgå ifrån att den enda kraften som verkar på kroppen under kastet är jordens dragningskraft. som är lodrätt mot markens plan, så att inga krafter av betydelse såsom luftmotstånd eller vind inverkar längs markens plan kan vi utnyttja dynamikens grundlagar och göra en bättre modell för banan.

Rörelsens vektornatur, gör att vi kan utgå ifrån tidpunkten då kastet just lämnat kastaren och kroppen har en hastighet med en riktning. Då kan vi ta i bruk en vektor v vars längd representerar hastigheten och lutningsvinkel mot planet som är vinkelrät mot gravitationskraften som riktningsvinkel. Då kan hastigheten delas i en komponent som är parallell med gravitationsverkan vy och en som är helt rätvinklig gentemot gravitationen och således inte påverkas av tyngdkraften.

[math]\displaystyle{ v_x(t)=v \cdot\cos(\alpha) }[/math]
[math]\displaystyle{ v_y(t)=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t }[/math]

[math]\displaystyle{ x(t) = \int v_x(t) dt =v \cdot\cos(\alpha)\cdot t }[/math]
[math]\displaystyle{ y(t) = \int v_y(t) dt =v \cdot\sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} }[/math]

Kastbanan når sin höjdpunkt då

[math]\displaystyle{ v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t_{topp} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ t_{topp}=\frac{v \cdot\sin(\alpha)}{g} }[/math]

Kastet pågår tills y blir 0 igen.

[math]\displaystyle{ y(t) = t ( v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} ) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ t_{kast} = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g} }[/math]

Kastbanans topp är vid h.
[math]\displaystyle{ v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha)\cdot t_{topp} - \frac{g\cdot t_{topp}^2}{2} }[/math]

2 mars 2013 kl. 21.30 (UTC) Återkommer kanske senare med en fysiklärares version.