Tips: Parabelns bana

Uppgift

Uppgiften är formulerad så att vi söker en parabel, som modell för en kastbana med längden 110 m och högsta höjden 35 m.

   Om kastet startar i punkten (0,0) är nedslaget i ( 110,0) och toppen som är i ( ? ,35 ) har x=55 av symmetriskäl.
   ( Detta beror på att parabler i den allmän formen har alltid en symmetriaxel parallell med y-axeln.)

[math]\displaystyle{ y = ax^2 + bx + c }[/math]

 Om man vet att toppen på en allmän parabel är [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] kan dess funktion skrivas som : 


 [math]\displaystyle{ y - y_0 = a(x - x_0)^2  }[/math]

Eftersom vår parabels topp ligger i punkten (55,35) gäller att

[math]\displaystyle{ y - 35 = a(x-55)^2 = a\cdot (x^2 - 110x + 55^2) }[/math]

och eftersom den går genom (0,0) ersätter vi x och y med dessa värden för att lösa a och då fås att

[math]\displaystyle{ -35 = a \cdot 55^2 \Leftrightarrow a = -\frac{35}{55^2}=-\frac{7}{55\cdot 11} }[/math]

 Om man vet två nollställen för en andragradsekvation [math]\displaystyle{ {x_1, x_2} }[/math] kan dess funktion skrivas som : 


 [math]\displaystyle{ y = a\cdot(x - x_1)\cdot(x - x_2)  }[/math]

  Eftersom nollställena är x=0 och x=110 är den allmänna formen

  [math]\displaystyle{  y = a\cdot x\cdot (x-110) = -\frac{7}{55\cdot 11}\cdot x\cdot (x-110)  }[/math]

  [math]\displaystyle{  = -\frac{7}{605} x^2 + \frac{14}{11} x \approx -0,01157 x^2 + 1,2727 x }[/math]

Mera korrekt modell kan härledas med kunskaper i fysik

Om vi kan utgå ifrån att den enda kraften som verkar på kroppen under kastet är jordens dragningskraft. som är lodrätt mot markens plan, så att inga krafter av betydelse såsom luftmotstånd eller vind inverkar längs markens plan kan vi utnyttja dynamikens grundlagar och göra en bättre modell för banan.

Rörelsens vektornatur, gör att vi kan utgå ifrån tidpunkten då kastet just lämnat kastaren och föremålet har en hastighet med en riktning. Då kan vi se utgångshastigheten för föremålet som en vektor v vars längd representerar hastigheten och lutningsvinkel mot planet som är vinkelrät mot gravitationskraften som riktningsvinkel. Då kan hastigheten delas i en komponent som är parallell med gravitationsverkan vy och en som är helt rätvinklig gentemot gravitationen och således inte påverkas av tyngdkraften.

[math]\displaystyle{ v_x(t)=v \cdot\cos(\alpha) }[/math]
[math]\displaystyle{ v_y(t)=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t }[/math]

[math]\displaystyle{ x(t) = \int v_x(t) dt =v \cdot\cos(\alpha)\cdot t }[/math]
[math]\displaystyle{ y(t) = \int v_y(t) dt =v \cdot\sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2} }[/math]

Kastbanan når sin höjdpunkt då

[math]\displaystyle{ v_y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha) - g\cdot t_{topp} = 0 \Leftrightarrow t_{topp}=\frac{v \cdot\sin(\alpha)}{g} }[/math]

Kastet pågår tills y blir 0 igen.

[math]\displaystyle{ y(t) = t ( v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} ) = 0 \Leftrightarrow v \cdot\sin(\alpha) - \frac{g\cdot t}{2} = 0 \Leftrightarrow t_{kast} = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g} }[/math]

   Vi kan nu räkna ut avståndet till kastets nedslag:

   [math]\displaystyle{  x_{kast} = t_{kast} \cdot v\cdot \cos(\alpha) = \frac{2v\cdot\sin(\alpha)}{g}\cdot v\cdot \cos(\alpha)= \frac{v^2\cdot \sin 2\alpha}{g} }[/math] 


   I denna form ser vi att ett idealiskt kast flyger längst om utgångsvinkeln är 45 grader, upp från marken, med övriga parametrar oförändrade.

Kastbanans topp är vid h.
[math]\displaystyle{ h=y(t_{topp})=v \cdot\sin(\alpha)\cdot t_{topp} - \frac{g\cdot t_{topp}^2}{2} = \frac{v^2 \cdot\sin^2(\alpha)}{2g} }[/math]

[math]\displaystyle{ v\cdot \sin(\alpha)=\sqrt{2gh} }[/math]

[math]\displaystyle{ t_{topp}=\sqrt{\frac{2h}{g}} }[/math]

Under arbete ...

2 mars 2013 kl. 21.30 (UTC) Återkommer kanske senare med en fysiklärares version.