Derivator

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Upplägget

Du ska få lära dig derivator på ett effektivt sätt:

  1. Först en frågeställning
  2. Sedan ser vi hur derivatan hjälper oss lösa problemet
  3. Därefter lär vi oss derivera
  4. Slutligen kommer derivatans definition

Alltså inte begreppen först och tillämpningen sen utan frågeställningen som leder till behov av verktyg. Sätt igång!

Uppgift
Luftgevär

Luftgevär används främst för sportskytte, i viss utsträckning även för skyddsjakt på skadedjur som råttor och vissa fågelarter. För att få användas för jakt i Sverige måste kalibern vara minst 5,5 mm och utgångshastigheten minst 180 m/s.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

En jägare vill skjuta mot en skrattmås som befinner sig 35 meter upp i luften.

Fråga 1. Vilken hastighet har kulan då den når den höjden?

Tips 1: Kulans läge kan beskrivas med fuinktionen:

[math]\displaystyle{ y = v_ot + \frac{gt^2}{2} }[/math]
där g är tyngdaccelerationen

Tips 2. Derivera funktionen. Derivatan av läget [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] är nämligen hastigheten vid tiden [math]\displaystyle{ t }[/math]. Alltså: [math]\displaystyle{ y'(t)= }[/math] hastigheten.

Fråga 2. Hur högt kan kulan nå?

Fråga 3. Rita graferna för [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] och [math]\displaystyle{ y'(t) }[/math] i GeoGebra. (använd x i stället för t)

Fråga 4. Surfa lite och föreslå en modifierad funktion som tar hänsyn till luftmotståndet.

Kontroll: Titta i formelsamlingen för fysik om du kan bekräfta att du fick fram rätt formel när du deriverade uttrycket ovan.


Deriveringsregler

Varför inte börja med de enkla deriveringsreglerna. Det är enkelt och gör att vi snabbt kan göra något nyttigt.

Deriveringsregler:

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x\, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 1 }[/math].
Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^2, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 2x }[/math].
Det kan generaliseras till att funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] har derivatan [math]\displaystyle{ (f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1} }[/math].
Derivatan av [math]\displaystyle{ e^{kx}\ }[/math] är [math]\displaystyle{ ke^{kx} }[/math].
Derivatan av [math]\displaystyle{ a^x\, }[/math] är [math]\displaystyle{ a^x \ln(a) }[/math]
Derivatan av [math]\displaystyle{ \ln(x) \ }[/math] är [math]\displaystyle{ \frac{1}{x}\ }[/math]
Ma3C: och deriveringsregler, sidan 130-132
Uppgift
Derivera följande funktioner:
  1. [math]\displaystyle{ f(x) = 5x^2 + 3x +7 }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ f(x) = \ln(x) + 2x^7 }[/math]


Additionsregeln

Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:

[math]\displaystyle{ (f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime. }[/math]

Linjäritet

En konstant (c) kan flyttas ut ur deriveringen:

[math]\displaystyle{ (c \cdot f)^\prime = c \cdot f^\prime. }[/math]

Produktregeln

Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar, och derivatan ges av följande formel.

[math]\displaystyle{ (f \cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g + g ^\prime \cdot f. }[/math]

Kvotregeln

Derivatan av kvoten [math]\displaystyle{ \frac{f}{g} }[/math] ges av följande funktion:

[math]\displaystyle{ \frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2} }[/math]


Derivata av sammansatt funktion (kedjeregeln)

En sammansatt funktion f(g(x)) är en funktion f(x) som har en annan funktion g(x) som sitt argument, istället för en variabel som x. Detta kan även skrivas [math]\displaystyle{ (f \circ g)(x) }[/math] för att förtydliga att g inte är en variabel utan själv är en funktion av variabeln x. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet kedjeregeln:

[math]\displaystyle{ (f(g))^\prime = f^\prime(g)\cdot g^\prime. }[/math]


Läs mer: Dessa och fler deriveringsregler hittar du på wikipedia.

Besök gärna WikiEducator


En widget som deriverar

Här är en widget som deriverar åt dig. Pröva den gärna.

Tänk! Försök fundera ut vad en andraderivata är


id=c44e503833b64e9f27197a484f4257c0}}

Introduktion till derivatan

Load video
YouTube
Introduktion till derivatan

Vi har jobbat med ett konkret exempel om ett luftgevär. Vi har lärt oss derviera funktioner.

Nu är det dags att förklara vad derivatan är:

  • lutningen i en punkt
  • sätt att beskriva hur grafen för en funktion förändras
  • sätt att hitta extrempunkter
  • Derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]
  • Derivatan av [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ y'(x) }[/math]


Ma3C: Definition: derivatan i en punkt, sidan 128

Derivatan lika med noll

Load video
YouTube
Extrempunkter

Fiffigt sätt att hitta extrempunkter:

  1. derivera funktionen
  2. sätt derivatan lika med noll
  3. lösningens x-värde ger max- eller minpunkten


Ma3C: Teori, sidan 140


Exempel
För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3 }[/math] för [math]\displaystyle{ 0\leq x\leq 2 }[/math] beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
[math]\displaystyle{ f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\} }[/math]

Eftersom andraderivatan är

[math]\displaystyle{ f''(x) = 6 x - 4\, }[/math]

så är

[math]\displaystyle{ f''(1/3) = -2 \lt 0\, }[/math] och [math]\displaystyle{ f''(1) = 2 \gt 0\, }[/math].

Värdena i randpunkterna är [math]\displaystyle{ f(0) = -3 }[/math] respektive [math]\displaystyle{ f(2) = -1 }[/math].

Följaktligen har funktionen f en lokal maximipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1/3 }[/math] och en lokal minimipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]. Respektive extremvärden är [math]\displaystyle{ f(1/3) = -77/27 }[/math] och [math]\displaystyle{ f(1) = -3 }[/math]. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).


Lutning och tangent

Tänk dig en fix punkt på en kurva och en rörlig punkt med koordinaterna . Linjen genom de två punkterna har lutningen:
[math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(3)}{x-3} }[/math]

Låt sedan [math]\displaystyle{ x }[/math] minska så att [math]\displaystyle{ x }[/math] närmar sig 3. Då kommer linjen att tangera kurvan i punkten [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math]. Den linjen kallas för tangent.

Ma3C: En kurvas lutning, sidan 114-116

<ggb_applet width="300" height="208" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Derivatan är lutningen i en punkt

Load video
YouTube
Derivatans definition

Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0} }[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.

Nu utgår vi från en punkt [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math] och så kallar vid punktensom närmar sig för [math]\displaystyle{ (x+h,f(x+h)) }[/math]. När [math]\displaystyle{ h }[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} }[/math]

Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.

Definition

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] definieras som gränsvärdet

[math]\displaystyle{ f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} }[/math]


Geometrisk tolkning

Derivatan är tangentens lutning i (x, f(x))

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)).

Öva på Khan:

Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill kan du även ändra funktion om du är lite van vid geogebra. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0. <ggb_applet width="1223" height="780" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Tillämpningar

Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.

Exempel
Tryck

Antag att [math]\displaystyle{ p(h) }[/math] betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden [math]\displaystyle{ h }[/math] (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan [math]\displaystyle{ p'(h) }[/math] att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se


Derivataquiz

1 Derivatan av 2x3 är:

x2
3x2
6x2
x3/3

2 Derivatan beskriver hur något förändras.

Sannt.
Falskt.

3 Derivatan anger hur krokig en kurva är.

Sannt.
Falskt.

4  

Den svarta kurvan illustrerar en godtyckligt vald funktion.
Vad kallas den röda linjen?

5 Förändringen mellan två punkter ges av att [math]\displaystyle{ {\Delta y = 200} }[/math] och [math]\displaystyle{ {\Delta x = 3} }[/math]. Vad blir lutningen?



Läs mer:
  1. Bruno Kevius om derivatan
  2. Matteboken Matte C har innehåll om derivator
  3. Matteboken Matte D
Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Derivator&oldid=15858”