Metoder för lösning av extremvärdesproblem
Maximi- och minimiproblem
Facit: Lådan - en praktisk övning
Tillämpningar på derivata, nedan. Finns även en mängd uppgifter på separat sida
Teori
Derivatan ger extrempunkterna
Fiffigt sätt att hitta extrempunkter:
- derivera funktionen
- sätt derivatan lika med noll
- lösningens x-värde ger max- eller minpunkten
Uppgifterna i det här avsnittet handlar om att du ska kunna läsa av eller räkna ut funktionens värde och derivatans värde för funktioner som beskriver verkliga händelser eller samband. Kopplingen till verkligheten gör det relevant, vilket inte är helt vanligt inom våra mattekurser.
| Exempel |
|---|
| Längdåkning på skidor
En längdskidåkare kommer till en brant backe och stannar helt och tvekar innan hen vågar åka utför. Orolig som hen är tar hen fram telefonen och finner följande problem som hen löser (i huvudet). Du kommer att röra dig s meter på t sekunder enligt funktionen [math]\displaystyle{ s(t) = 3 t^2 }[/math]
Frågan är: ger beräkningarna ovan någon information om hur fort det kommer att gå vid backens slut? |
Tillämpningar - Lufttryck
Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.
| Exempel |
|---|
| Tryck
Antag att [math]\displaystyle{ p(h) }[/math] betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden [math]\displaystyle{ h }[/math] (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan [math]\displaystyle{ p'(h) }[/math] att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ. Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se |
Digitala övningar (fördjupning)
En snygg funktion
Undersök funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{sin(x)}{x} }[/math].
- För vilket [math]\displaystyle{ x }[/math] har funktionen sitt största och minsta värde?
- Vad är gränsvärdet [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f(x) }[/math] ?
- För vilka [math]\displaystyle{ x }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = 0 }[/math] ?
Talet e
Rita grafen för [math]\displaystyle{ f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x }[/math] som du känner från avsnittet Beräkning_av_gränsvärden.
Skissa hur derivatan kan tänkas se ut genom att lägga in några punkter i GeoGebra.
Lägg in funktionen [math]\displaystyle{ g(x) = f'(x) }[/math] och se hur bra du lyckades med din skiss.
GeoGebra har även tagit fram derivatan som du ser och kan förundras över. Den följer inte våra enkla deriveringsregler.
RC-kretsen
Följande finns att läsa på Wikipedia: RC_cicuit:
The simplest RC circuit is a capacitor and a resistor in parallel. When a circuit consists of only a charged capacitor and a resistor, the capacitor will discharge its stored energy through the resistor. The voltage across the capacitor, which is time dependent, can be found by using Kirchhoff's current law, where the current charging the capacitor must equal the current through the resistor. This results in the linear differential equation
- [math]\displaystyle{ C\frac{dV}{dt} + \frac{V}{R}=0 }[/math].
where C = capacitance of capacitor.
Solving this equation for V yields the formula for exponential decay:
- [math]\displaystyle{ V(t)=V_0 e^{-\frac{t}{RC}} \ , }[/math]
where V0 is the capacitor voltage at time t = 0.
The time required for the voltage to fall to [math]\displaystyle{ \frac{V_0}{e} }[/math] is called the RC time constant and is given by
- [math]\displaystyle{ \tau = RC \ . }[/math]
Uppgifter
- Rita grafen för [math]\displaystyle{ V(t) }[/math] och bestäm tidskonstanten [math]\displaystyle{ \tau }[/math].
- Sätt in lämpliga värden R och C i din funktion, gärna med glidare.
- I denna uppgift dyker talet e upp igen. Hur kommer det sig?
Läs mer
Upp- och urladdning av kondensatorer av JI/Arlandagymnasiet.
Kolla inte facit än!
Övning i GGB
https://ggbm.at/d9ymqxvm Bra övning av Tim B