Centralt innehåll:
Detta avsnitt kommer att behandla:
En rät linje går mellan punkterna.
hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?
Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.
Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.
För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:
En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.
Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:
http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png
http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png
Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.
m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.
Då är det ju bara m som är obekant.
Använd y = kx + m oxg sätt in koordinaterna för en punkt samt värdet för k. Lös ut m i ekvationen.
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.
Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1,2) och (4,-3)
Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:
Sätter man in värdena så får man:
Vilket ger:
Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som
Uppgift
Erika anställer en städare och får betala för 4 timmar 450 kr och för 9 timmar 990 kr Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala?
Uträkning
Tänk så här:
Kostnaden ökar med [math]\displaystyle{ 990kr-450kr= 540kr }[/math]
Tiden ökar med [math]\displaystyle{ 9-4= 5 timmar }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr/timme }[/math]
Avgiften per timme blir[math]\displaystyle{ = 108 kr }[/math]
Bevis för att vinkelräta linjer innebär att [math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2 = -1 }[/math]
Om det är 90o mellan linjerna så gäller att:
Då är enligt figuren (likformighet eller tangens)
Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] och [math]\displaystyle{ k_2 }[/math]
och
Insättning i (1) ger
Undersök med Geogebra-applet: Räta linjens ekvation
Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare
Vi ska göra en laboration med ett snöre.
Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje?
Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5.
Undersök med Geogebra-applet: Interaktiv övning
Problemlösning - Diskutera
Jobba själv
1. Priset för en vuxen att hyra skidutrustning under en dag är 290 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 910 kr. Gör en modell för detta och beräkna priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.
2. Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden? http://www.rommealpin.se/priser-1__1053
Facit: (klicka expandera till höger)
Ser du något som kunde gjorts bättre när det gäller skalan på x-axeln.
En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2).
Bestäm räta linjens ekvation.
Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer räta linjens ekvation när man känner två punkter.
Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.
<math> \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot </math>
Undersök med Geogebra-applet: Slope
Tim Brzezinski (GeoGebra-guru) har skapat en GeoGebrabok med 22 övningar. Bläddra igenom dem och gör till exempel Quiz 1-3.
Bevisa sambandet [math]\displaystyle{ vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1 }[/math] genom att:
Räta linjen med Python
Wikipedia skriver om injär_ekvation
En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:
eller på standardform:
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] på linjen kan man skriva den på enpunktsform: