Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Teori
Naturliga logaritmen
Naturliga logaritmer bygger på basen e
Om vi har talet 3 och vill skriva om det som en potens med basen 10 gör vi på följande sätt:
- [math]\displaystyle{ 3 = 10^{lg3} }[/math]
På samma sätt kan vi skriva om ett tal som en potens med basen e, där logaritmen för talet e betecknas som ln och kallas den naturliga logaritmen. För att skriva om talet 3 som en potens med basen e gör vi på följande sätt:
- [math]\displaystyle{ 3 = e^{ln3} }[/math]
Om vi har ett tal a som vi vill skriva om till basen e så gör vi på följande sätt:
- [math]\displaystyle{ a = e^{lna} }[/math]
Derivatan av f(x) = ax
För att kunna derivera en allmän exponentialfunktion behöver vi först skriva om funktionen som en potens med basen e, vilket vi lärde oss i förra avsnittet när vi gick igenom den naturliga logaritmen. Då kan vi nämligen använda oss av deriveringsregeln för [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math].
Vi skriver om exponentialfunktionen på följande sätt:
- [math]\displaystyle{ f(x) = a^x = e^{lna^{x}} = e^{x~lna} }[/math]
Nu ser vi att vår funktion har formen [math]\displaystyle{ f(x)=e^{kx} }[/math], vilket vi i tidigare avsnitt har sett derivatan för. Vi får enligt deriveringsregeln för [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math]:
- [math]\displaystyle{ f′(x)=lna \cdot e^x~lna} }[/math]
På samma sätt som vi skrev om talet som en potens med basen e kan vi backa och skriva tillbaka talet i sin ursprungliga form:
- [math]\displaystyle{ f′(x) = ln~a \cdot e^{x~lna} = lna \cdot e^{lna^{x}} = lna \cdot a^x }[/math]
Vi kan sammanfatta detta och får då deriveringsregeln:
Texten ovan (båda styckena) kommer från Matteboken.se
| Definition |
|---|
| Om derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = ln~a \cdot a^x }[/math] |
Derivatan av 2x
Vi skriver om 2 till [math]\displaystyle{ e^{ln 2} }[/math] för att få det på basen e och kunna använda potenslagarna och deriveringsreglerna som vi har med oss sedan tidigare.
[math]\displaystyle{ y = 2^x = (e^{ln 2})^x =e^{ln 2 \cdot x} }[/math]
Nu är det en funktion på formen [math]\displaystyle{ e^{k x} }[/math] och vi kan derivera (med [math]\displaystyle{ k = ln 2 }[/math]) som vanligt.
[math]\displaystyle{ y' = ln 2 \cdot e^{ln 2 \cdot x} = ln 2 \cdot (e^{ln 2} )^x = ln 2 \cdot 2^x }[/math]
| Definition |
|---|
| Derivatan av [math]\displaystyle{ y = a^x }[/math]
|
Exempel
Härledning med derivatans definition
Vid derivering av funktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant:
[math]\displaystyle{ a }[/math] kan skrivas som [math]\displaystyle{ e^{\ln a} }[/math] (se naturliga logaritmen]]) vilket innebär att [math]\displaystyle{ a^x }[/math] även kan substitueras med [math]\displaystyle{ e^{\ln a x} }[/math].
[math]\displaystyle{ f(x)= e^{\ln a x} }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a (x+h)}-e^{\ln a x}}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a h}\cdot(e^{\ln a x}-1)}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{\ln a x} \cdot\frac{e^{\ln a h}-1}{h} }[/math]
Om [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] nu tillsätts med ett värde, exempelvis 6 blir derivatan :
[math]\displaystyle{ f(x)= e^{6x} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{6x} \cdot\frac{e^{6h}-1}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=6\cdot e^{6x} }[/math]
Detta innebär att denna allmänna formel för exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ e^{kx} }[/math], där [math]\displaystyle{ k }[/math] är en konstant lyder:
[math]\displaystyle{ f(x)=e^{kx} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=k \cdot e^{kx} }[/math]
Om [math]\displaystyle{ k }[/math] substitueras med [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] följande, om [math]\displaystyle{ a^x=e^{\ln a x} }[/math]:
[math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\ln a \cdot a^x }[/math]
Uppgifter
Lär mer
Repetera gärna Logaritmer från Ma2c.