Nollställe

Mål för undervisningen xxx

Här undersöker vi xxx.

Teori

Definition

Nollställe

En punkt i en funktions definitionsmängd där funktionens värde är noll

Besläktade ord: nollställa.

Nollställena i en andragradsfunktion befinner sig på samma avstånd från symmetrilinjen.

Andragradsekvationer och rötter

Exempel

Lös ekvationen:

[math]\displaystyle{ x^2-8x+16=0 }[/math]

Vad händer?

Pröva nu ekvationen:

[math]\displaystyle{ x^2-8x+17=0 }[/math]

här har vi en ekvation som saknar reella lösningar.

Definition
En andragradsekvation kan ha två reella rötter eller en dubbelrot eller två komplexa rötter

Faktorisering och nollproduktsmetoden

Nu vet vi att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvara lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) = 0. Dessa x-värden kallas nollställen.

Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Nollställena x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen.

Uppdelning i faktorer med konjugatregeln

Exempel

Faktorisera för att hitta nollställena

Vilka rötter har ekvationen [math]\displaystyle{ x^2 - 6 x + 9 }[/math] ?

Faktorisering ger (x-3)(x-3) = 0 vilket innebär att x = 3 är ett nollställe och en dubbelrot.

Ekvationen kan även skrivas på formen [math]\displaystyle{ (x-3)^2 = 0 }[/math]

Uppgift

Först ska vi repetera konjugatregeln med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Sedan testar vi om du kan använda konjugatregeln baklänges. Dela upp följande uttryck i faktorer:

[math]\displaystyle{ x^2 - 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - 81 }[/math]
[math]\displaystyle{ c^2 - 4 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - 3.4 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - k^2 }[/math]

Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna

Uppgift

Här ska vi också repetera kvadreringsreglerna med ett lösblad.

Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges.

Exempel:

1+2x+x² = (1+x)²

Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!

4+8x+4x²=
4-12x+9x²=
64+144x+81x²=
0.25-10x+100x²=
a²-2ab+b²=
a²+2abx+b²x²=
0.16a²+2.4ax+9x²=
9y²-12x²y+4x⁴=

Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna

Det är ofta lätt att hur ett polynom av andra graden (andragradsfunktion) kan faktoriseras med hjälp av konjugat- eller kvadreringsreglerna men det går att faktorisera många andra polynom av andra graden men ekvationens form blir då [math]\displaystyle{ (x-a)(x-b) = 0 }[/math] och rötterna är a respektive b. Det motsvara fallen då andragradsfunktionen inte är symmetrisk med y-axeln.

Exempel

Ekvationen

[math]\displaystyle{ x^2 -x -6 = 0 }[/math]

kan skrivas som

[math]\displaystyle{ (x+2)(x-3) = 0 }[/math]

Rötterna är : [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math] och [math]\displaystyle{ x=3 }[/math]

Observera den negativa roten. Faktorn : [math]\displaystyle{ (x+2) = 0 }[/math] om [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math]

Aktivitet

Tempot är viktigt

Om du gör ett prov kanske det innehåller 12 uppgifter som du ska göra på en timme. Några uppgifter är lätta och går fort men några andra kräver mycket mer tid. Det ger oss anledning att fundera över hur fort man bör kunna lösa uppgifter. En rimlig hastighet är att du löser cirka 20 uppgifter per timme om uppgifterna är lagom svåra. Det innebär i snitt tre minuter per uppgift.

Uppgift

Se om du kan göra en uppgift på tre minuter

Välj en uppgift i Kunskapsmatrisen på den betygsnivå som ligger nära det betyg du hade i Ma1c.

Se om du kan göra uppgiften på tre minuter. Din lärare tar tid. Du ska redovisa din lösning iinom de tre minutrarna.