Komplexa tal Ma2c
Teori
| Definition |
|---|
| Komplexa tal
Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math].
|
Läs mer: Komplexa tal på wikipedia
Vad ska man ha komplexa tal till?
- Komplexa tal används när man räknar på växelström.
- Titta på denna ppt från Uppsala.
- j-omegametoden
Komplexa rötter
x2 = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.
x2+3x+16=0 har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
Inledning
- [math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ z\ = a + b\,\mathrm i }[/math]
- [math]\displaystyle{ Re z = a }[/math]
- [math]\displaystyle{ Im z = b }[/math]
Konjugatet
Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:
Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som
- [math]\displaystyle{ \bar{z} = a - b\,\mathrm i }[/math]
För konjugatet gäller
- [math]\displaystyle{ \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left| \overline{z} \right| = \left| z \right| }[/math]
Absolutbeloppet
Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som
- [math]\displaystyle{ r= \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]
eller
- [math]\displaystyle{ r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} }[/math]
För absolutbeloppet gäller
- [math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|} }[/math]
Öva online
Aktivitet
| Uppgift |
|---|
| xxx'
|