Komplexa tal Ma2c

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök


[redigera]


Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Komplxa tal

Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.


Komplexa tal

Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (Re) och en imaginärdel (Im)

De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

[math]z\ = a + b\,\mathrm i[/math]

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten med egenskapen

[math]\ \mathrm i^2\ = {-1}[/math]

Komplexa rötter

Komplexa tal
Complex number illustration

Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan Tal och talmängder

Definition
Komplexa tal


[math] i^2 = -1 [/math]


Det är praktiskt att se det som att

[math] i = \sqrt{-1} [/math]

även om det inte är matematiskt korrekt, se engelska Wikipedia om Imaginary number.

Ett komplext tal består av en realdel [math]a[/math] och en imaginärdel [math]b[/math].

[math] z = a + bi [/math]
[math]Re z = a[/math]
[math]Im z = b[/math]

Imaginärdelen är ett reellt tal.


Komplexa tal och andragradsekvationer

Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:

[math] x^2 + px + q = 0 [/math]

med lösningen:

[math] x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} [/math]

Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten

[math] \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \lt 0 [/math]

Exempel 1

Exempel
En andragradsekvation har två rötter

En andragradsekvation

[math]ax^2 + bx + c = 0, a\neq 0[/math]

har alltid två rötter. Dessa är

[math]x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}[/math]

Om uttrycket under rottecknet är

  • större än noll, är rötterna olika och reella
  • mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
  • lika med noll, är rötterna lika och reella


Exempel

x2 = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa.

[math]x^2 = -16[/math]
[math]x = \pm \sqrt{-16}[/math]
[math]x = \pm \sqrt{i^2 * 16}[/math]
[math]x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16}[/math]
[math]x = \pm i * 4[/math]
[math]x_1 = 4i[/math]
[math]x_2 = -4i[/math]


x2-4x+13=0 har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

[math] x^2 - 4x + 13 = 0 [/math]
[math]{{pq-formeln}}[/math]
[math] x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 }[/math]
[math] x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} [/math]
[math] x = 2 \pm \sqrt{-9} [/math]
[math] x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} [/math]
[math] x = 2 \pm 3i [/math]
[math] x_1 = 2 +3i[/math]
[math] x_2 = 2 - 3i[/math]



Läs mer: Komplexa tal på wikipedia

Öva online


Uppgift

Uppgift
CAS i Geogebra
CSolve.PNG

Lär dig lösa andragradsekvationer med CAS-modulen i GeoGebra.

CAS står för Computer Algebra System.

GeoGebra Quickstart Tutorial.


Vad ska man ha komplexa tal till?

Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.

  • Komplexa tal används när man räknar på växelström.

Visualisera komplexa rötter

Visualisera komplexa rötter

Sway logo.svg
Swayen till detta avsnitt: [https xxx]


20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Wikipedia Komplexa tal


Matteboken.png
Läs om Komplexatal


Texter från högskolan

En wiki med mycket teknik

Bruno Kevius

Komplexa tal

Fördjupning som hör till Ma4

Magnus Rönnholm, CC

Konjugatet

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:

ComplexaTalplanet.svg

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

[math] \bar{z} = a - b\,\mathrm i [/math]

För konjugatet gäller

[math]\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ [/math]
[math]\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ [/math]
[math]\left| \overline{z} \right| = \left| z \right| [/math]

Absolutbeloppet

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

[math]r= \sqrt{a^2 + b^2}[/math]

eller

[math]r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}[/math]

För absolutbeloppet gäller

[math]|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|[/math]
[math]\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}[/math]

Exit ticket