Komplexa tal Ma2c

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök


[redigera]


Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction
Mål för undervisningen Komplxa tal

Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.


Komplexa tal

Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (Re) och en imaginärdel (Im)

De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

z =a+bi

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten med egenskapen

 i2 =1

Komplexa rötter

Komplexa tal
Complex number illustration
Complex number illustration

Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan Tal och talmängder

Definition
Komplexa tal


i2=1


Det är praktiskt att se det som att

i=1

även om det inte är matematiskt korrekt, se engelska Wikipedia om Imaginary number.

Ett komplext tal består av en realdel a och en imaginärdel b.

z=a+bi
Rez=a
Imz=b

Imaginärdelen är ett reellt tal.


Komplexa tal och andragradsekvationer

Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:

x2+px+q=0

med lösningen:

x=p2±(p2)2q

Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten

(p2)2q<0

Exempel 1

Exempel
En andragradsekvation har två rötter

En andragradsekvation

ax2+bx+c=0,a0

har alltid två rötter. Dessa är

x=b±b24ac2a

Om uttrycket under rottecknet är

  • större än noll, är rötterna olika och reella
  • mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
  • lika med noll, är rötterna lika och reella