Ekvationssystem Ma2c

Teori - Ekvationssystem (grafiskt)

Två ekvationer med två variabler = Ekvationssystem

Här har vi två ekvationer. Det är ekvationer med x och y. Var och en är en ekvation för en rät linje. De har skrivits på en form där variablerna (x och y) står till vänster och numeriska värdena (siffrorna) till höger.

Ekvationerna har döpts med ett nyummer som skrivs inom parentes, (1) och (2). Vi döper ekvationerna för att kunna beskriva hur vi jobbar med dem.

Det kallas för ett ekvationssytem: Wikipedia skriver om Ekvationssystem

Man kan lösa ekvationssystem och få fram vilken punkt som gäller för båda ekvationerna. man kan lösa detta algebraiskt eller grafiskt.

Exempel

Ekvationssystem Bestäm skärningspunkterna för linjerna [math]\displaystyle{ x + y {{=}} 1\, }[/math] och [math]\displaystyle{ x - y {{=}} 1 \, }[/math], med andra ord, sök en lösning till ekvationssystemet [math]\displaystyle{ \begin{cases} &x + y {{=}} 1 \quad (1)\\ &x - y {{=}} 1 \quad (2) \end{cases} }[/math] Första steget är att reducera de två ekvationerna med de två obekanta till en ekvation som endast innehåller en obekant. Detta kan göras genom att skriva om ekvation (2) till [math]\displaystyle{ y = x - 1.\, }[/math] Genom att sätta in detta värde på y i ekvation (1) övergår ekvation (1) till [math]\displaystyle{ x + (x - 1) = 1\, }[/math] Denna ekvation har lösningen [math]\displaystyle{ x = 1. }[/math] Då [math]\displaystyle{ y = x-1, }[/math] följer att [math]\displaystyle{ y = 0. }[/math] Det finns därför bara en skärningspunkt för de två linjerna (1) och (2): den punkt vars x-koordinat är x = 1 och vars y-koordinat är y = 0.

Grafisk lösning av ekvationssystem

Uppgift
Använd GeoGebra för att skapa en grafisk lösning till ekvationssystemet i exemplet ovan. När du gör denna övning så ser du skillnaderna (och likheterna): Typtal Ekvationssystem

Additionsmetoden

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Additionsmetoden kan användas för att lösa ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta variabler x och y. Man måste då eliminera en av de obekanta variaberna genom att multiplicera ekvationerna med lämpliga tal så att antingen x eller y försvinner om man adderar ekvationerna.

Vad kan man göra med två ekvationer?

Ekvationer kan manipuleras på olika sätt.

• Addera sammma term på båda sidorna.
• Addera en negativ term = subtraktion.
• Multiplicera med ett tal.
• Multiplicera med en invers = division.
• Multiplicera med ett negativt tal för att byta tecken i en ekvation.
• Dessutom: Man kan addera två ekvationer!

Fråga?

Kan man addera så att en variabel försvinner?

Addera två ekvationer så att x går bort. Ordna så att y är fritt. Vad innebär det för y? En punkt med x y som satisfierar båda originallektionerna.

Test: Rita båda ekvationerna i Ggb.

Exempel

Additionsmetoden [math]\displaystyle{ \begin{cases} &x + y = 5, \quad (1)\\ &2x − 3y = − 5 \quad (2) \end{cases} }[/math] Om man vill eliminera x kan man multiplicera den övre ekvationen med [math]\displaystyle{ -2 }[/math].Det ger då att [math]\displaystyle{ − 2x − 2y = − 10 }[/math] Om man sedan adderar vänsterleden och högerleden får man att [math]\displaystyle{ − 2x − 2y + 2x − 3y = − 10 − 5 }[/math] Det ger att [math]\displaystyle{ − 5y = − 15. }[/math] Om man löser ut y får man att [math]\displaystyle{ y = 3 }[/math]. Man kan sedan sätta in detta y i en av de ursprungliga ekvationerna. Om man väljer den första får man att [math]\displaystyle{ x + 3 = 5 }[/math] och det ger att [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math]. Lösningen till ekvationssystemet blir [math]\displaystyle{ x = 2,y = 3 }[/math]

Källa: Wikipedia

Ersättningsmetoden

Ett annat namn för ersättningsmetoden är substitutionsmetoden.

Vad innebär det att två linjer skär varandra? Jo de har samma x-värden och y-värden.

Sätt y lika

Exempel

Ersättningsmetoden [math]\displaystyle{ \begin{cases} & x + 5y = 20, \quad (1)\\ & -x +y = − 2 \quad (2) \end{cases} }[/math] Om y-värdena är lika i skärningspunkten kan vi göra lika dant algebraiskt: [math]\displaystyle{ \begin{cases} & 5y = 20-x, \quad (1)\\ & y = x − 2 \quad (2) \end{cases} }[/math] eller [math]\displaystyle{ \begin{cases} & y = 4- \frac{x}{5}, \quad (1)\\ & y = x − 2 \quad (2) \end{cases} }[/math] det betyder att vi kan sätta: [math]\displaystyle{ 4- \frac{x}{5} = x − 2 }[/math] Nu kan vi lösa ut x genom att samla termerna: [math]\displaystyle{ \frac{6x}{5} = 6 }[/math] [math]\displaystyle{ x= 5 }[/math] Sätt in [math]\displaystyle{ x = 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ (1) }[/math] ger [math]\displaystyle{ y =3 }[/math]

Problemlösning med ekvationssystem

Exempel
Textproblem som blir ekvationssystem Summan av två tal är 38 och differensen mellan talen är 14. Vilka är talen? Lösning: [math]\displaystyle{ \begin{cases} & x + y {{=}} 38 \quad (1)\\ & x - y {{=}} 14 \quad (2) \end{cases} }[/math] Addera (1) och (2) ger: [math]\displaystyle{ 2x = 52 }[/math] [math]\displaystyle{ x = 26 }[/math] [math]\displaystyle{ y = 12 }[/math]

Aktivitet

Välj metod

Uppgift
Reflektera och välj Vilken metod tycker du är bäst, additionsmetoden eller ersättningsmetoden?

Använd glidare i geoGebra

I denna uppgift kan du använda glidarna för att lösa tre uppgifter.

Uppgift
Glidare ger dig ett dynamiskt verktyg för att lösa ekvationssystem Lös de tre uppgifterna som finns på denna sida i GeoGebraTube.

Kommentar: Vid testning verkar det saknas glidare för högerledet i ekvationerna.

Leo och Eva fyller år på samma dag

Samma dag som Eva fyllde 40 år födde hon sin son Leo. Om sju år

Lär mer

Uppgift
Gör gärna denna diagnos på ekvationssystem Veckodiagnos 18

Blandade uppgifter

• Ekvationssystem problemlösning
• Papper som ska delas ut: Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri Nivå: rätt svårt

Ett gammalt prov i algebra och geometri

Prov kap 2 Geometri, räta linjen och ekvationssystem