Matematik 1c: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 146: | Rad 146: | ||
'''Definition: Potens''' | '''Definition: Potens''' | ||
I sin enklaste form definierar man potenser som resultatet av upprepad multiplikation. | |||
I sin enklaste form | Exempelvis, 4<sup>3</sup> (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64. | ||
definierar man potenser som resultatet av upprepad | |||
Exempelvis, 4<sup>3</sup> (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64. | |||
_____ | |||
'''Satser: Räkneregler för potenser''' | |||
Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent kan man härleda följande räkneregler, '''potenslagarna''': | Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent kan man härleda följande räkneregler, '''potenslagarna''': | ||
* <math>x^m \cdot x^n = x^{m+n}</math> | * <math>x^m \cdot x^n = x^{m+n}</math> | ||
| Rad 162: | Rad 165: | ||
Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens. | Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens. | ||
'''Definition: Exponenten är noll''' | |||
Med utgångspunkt i att potenslagarna skall gälla även när exponenten är ett negativt heltal inför man definitionerna att | Med utgångspunkt i att potenslagarna skall gälla även när exponenten är ett negativt heltal inför man definitionerna att | ||
* ''a''<sup>0</sup> = 1 (om ''a'' ≠ 0) Exempel: ''2''<sup>''0''</sup> = 1 | * ''a''<sup>0</sup> = 1 (om ''a'' ≠ 0) Exempel: ''2''<sup>''0''</sup> = 1 | ||
| Rad 169: | Rad 174: | ||
För ''a'' = 0 går det inte att ge en definition för ''a''<sup>''x''</sup> annat än om ''x''>0. Speciellt hör uttrycket 0<sup>0</sup> till de [[odefinierbara uttryck]]en. | För ''a'' = 0 går det inte att ge en definition för ''a''<sup>''x''</sup> annat än om ''x''>0. Speciellt hör uttrycket 0<sup>0</sup> till de [[odefinierbara uttryck]]en. | ||
'''Definition: Exponenten är negativ''' | |||
'''Definition: Exponenten är ett rationellt tal''' | |||
För att den tredje potenslagen ska fungera, definieras värdet av | För att den tredje potenslagen ska fungera, definieras värdet av | ||
potenser med [[rationellt tal|rationella]] exponenter | potenser med [[rationellt tal|rationella]] exponenter | ||
| Rad 175: | Rad 184: | ||
Speciellt betecknas ''a''<sup>1/2</sup> som (kvadrat)[[kvadratrot|roten]] ur ''a'' (skrives<math>\sqrt a</math>) och ''a''<sup>1/3</sup> som [[kubikrot]]en ur ''a'' (skrives <math>\sqrt[3] a</math>). | Speciellt betecknas ''a''<sup>1/2</sup> som (kvadrat)[[kvadratrot|roten]] ur ''a'' (skrives<math>\sqrt a</math>) och ''a''<sup>1/3</sup> som [[kubikrot]]en ur ''a'' (skrives <math>\sqrt[3] a</math>). | ||
'''Satser:''' Roten ur produkter och kvoter | '''Satser:''' Roten ur produkter och kvoter | ||
Versionen från 1 september 2011 kl. 20.54
Grovplanering: v 34-36 Taluppfattning och Aritmetik
Lektion 1 Tal, implikation och ekvivalens
Först måste vi:
- dela ut böcker
- reflektera över resultaten från diagnosen
- gå igenom några uppgifter ur diagnosen
- ge läxa.
Sid 6-11 i boken Matematuik 1C av Sjunnesson, Holmström, Smedhamre. Vi behandlar begreppen naturliga tal, heltal, rationella tal, irrationella tal och reella tal.
Sedan går vi in på begreppen implikation och ekvivalens.
Uppgift: Hitta på egna implikationer och ekvivalenser.
Implikation ==>
Tina har en tax ==> Tina har hund
Ekvivalens <==>
Vi har en täljare och en nämnare <==> Vi har en kvot
Läs: Tal och räkning i Wikibooks
Lektion 2 - Definition sats och bevis
Inledning
- Har ni övat hemma?
- Läs igenom Webbmatte för grundskolan om ni vill repetera.
- Titta på kursplaneringen
- Veckoförhör varje fredag, helt diagnostiskt?
Först: mer genomgång av diagnosen, sid 4-5.
Definition En definition är en bestämning eller avgränsning av ett språkligt uttrycks betydelse. Källa Wikipedia
Exempel: Ett udda tal slutar på 1, 3, 5, 7 eller 9.
Sats Ett bevisat påstående, en matematisk regel.
Bevis Ett bevis är en övertygande argumentationskedja som visar att en viss slutsats gäller. Wikipedia
Bevisa att medelvärdet är lika med medianen för fem på varandra följande tal.
Lektion 3 - Negativa tal
Länkar
- Wikipedia
- Mikael Bondestam
- Webbmatte för grundskolan om du vill repetera.
- Webbmatte för gymnasiet
- Kanske kan du ha nytta av att titta på denna film från matematikvideo
- Lång artikel av Ingvar O Persson som undervisade mig på lärarhögskolan
Visa
20+(-5) = 15 + 5 + (-5) = 15 Alltså: 20+(-5) = 20 - 5
20 - (-5) = 20 + 0 - (-5) = 20 + 5 + (-5)- (-5) = 20 + 5 Alltså: 20 - (-5) = 20 + 5
Vad handlar det om?
- minustecken kan betyda subtraktion eller negativa tal
- a+(-a) = 0 definition
- a+(-b) = a-b addition
- a-(-b) = a+b subtraktion
- a*(-b) = -ab multiplikation
- (-a)*(-b) = ab multiplikation
- (-a)/b = -(a/b) division
- (-a)/(-b) = a/b division
Lektion 4 - Primtal
Titta gärna på avsnitten om faktorisering och primtal för grundskolan.
Teori
Primtal är bara delbara med ett och sig själva. (positiva tal)
Alla positiva tal är uppbyggda av primtal (man dela upp dem i faktorer som är primtal)
jämna tal är delbara med två om siffersumman är delbar med ttre så är talet delbart med tre om talet slutar på noll eller fem är det delbart med fem
- Pröva gärna att använda Excel för att undersöka om ett tal är ett primtal.
Datorövning. Lär dig mer om ett tal genom WolframAlpha. Du ser bland annat hur talet delas upp i faktorer. Skriv bara talet på raden och klicka enter.
Datorövninga från matteva. Delbarhetsreglerna
- Här kan det vara bra att känna till att:
Ett helt tal är delbart med
2, om sista siffran (entalet) är jämt eller 0.
3, om talets siffersumma är delbar med 3.
4, om det tal, som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.
5, när sista siffran är 0 eller 5.
6, när villkoren för 2 och 3 både är uppfyllda.
7, när talets tiotal minus dubbla antalet av talets ental är delbart med 7.
Ex.:392 är delbart med 7 (39-4=35)
8, när det tal, som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.
9, när talets siffersumma är delbar med 9.
10, när talets sista siffra är en nolla.
Denna lista kommer från denna sida
Lektion 5 - Tal i bråkform
Glöm inte att repetera med webbmatte.se men du kan även repetera på wikiskolas bråksida.
Definition
Bråket a/b har täljare a och nämnare b
Satser
Man kan förlänga bråk
Man kan förkorta bråk Då behöver man ofta faktorisera
Vid addition och subtraktion måste bråken göras liknämniga. Minsta gemensamma nämnare.
Multiplikation av bråk
a/b * c/d = ac / bd
Visa grafiskt: 2/3 * 1/4
Division av bråk
a/b / c/d = a/b * d/c = ad / bc
Rita 6m-repet som delas i bitar om 3/4
M Bondestam ger en förklaring av multiplikation och division med bråk.
Lektion 6 - Potenser
Satser och definitioner nedan är hämtade från Wikipedia.
Definition: Potens
I sin enklaste form definierar man potenser som resultatet av upprepad multiplikation.
Exempelvis, 43 (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64.
_____
Satser: Räkneregler för potenser
Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent kan man härleda följande räkneregler, potenslagarna:
- [math]\displaystyle{ x^m \cdot x^n = x^{m+n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ {x^m \over x^n} = x^{m-n}, (x \ne 0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ {(x^m)}^n = x^{m \cdot n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^n \cdot y^n = {(x \cdot y)}^n }[/math]
Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.
Definition: Exponenten är noll
Med utgångspunkt i att potenslagarna skall gälla även när exponenten är ett negativt heltal inför man definitionerna att
- a0 = 1 (om a ≠ 0) Exempel: 20 = 1
- a−n = 1 / an (om a ≠ 0). Exempel: 2−1 = 1 / 21
För a = 0 går det inte att ge en definition för ax annat än om x>0. Speciellt hör uttrycket 00 till de odefinierbara uttrycken.
Definition: Exponenten är negativ
Definition: Exponenten är ett rationellt tal
För att den tredje potenslagen ska fungera, definieras värdet av
potenser med rationella exponenter
- x = a p/q (där a > 0) är det positiva tal x som uppfyller xq = ap
Speciellt betecknas a1/2 som (kvadrat)roten ur a (skrives[math]\displaystyle{ \sqrt a }[/math]) och a1/3 som kubikroten ur a (skrives [math]\displaystyle{ \sqrt[3] a }[/math]).
Satser: Roten ur produkter och kvoter