Multiplikation och division i polär form

Repetition

[math]\displaystyle{ \cos (u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos (u-v) =\ cos u\ cos v + \sin u \sin v }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin (u-v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v }[/math]

Multiplikation

Vi kommer använda:

[math]\displaystyle{ \cos (u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v }[/math]

Två komplexa tal

[math]\displaystyle{ z = r (\cos u + i \sin u) }[/math]

[math]\displaystyle{ w = s (\cos v + i \sin v) }[/math]

Då blir:

[math]\displaystyle{ z \cdot w = r (\cos u + i \sin u) \cdot s (\cos v + i \sin v) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = r \cdot s (\cos u \cos v + i \cos u \sin v + i \sin u \cos v + i^2 \sin u \sin v) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = r s ((\cos u \cos v - \sin u \sin v ) + i (\cos u \sin v + \sin u \cos v )) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = r s ( cos (u+v) + i \sin (u+v) ) }[/math]

Det innebär alltså att vid multiplikation av komplexa tal så multipliceras absolutbeloppen och adderas argumenten.

Division med komplexa tal på polär form

Vid division av två komplexa tal dividerar men längderna på vektorerna:

[math]\displaystyle{ | \frac{z}{w} | = \frac{|z|}{|w|} }[/math]

I analogi med multiplikationen så ska man subtrahera argumenten vid division av komplexa tal:

[math]\displaystyle{ arg \frac{z}{w} = arg z - arg w }[/math]

NP-uppgift

NP MaE vt 2000 uppg 5

Np MaE ht 1999

Uppgiften från Provbanken.