Bestämda integraler: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 18 februari 2021 kl. 06.53

Sid 207-213 - Beräkna integraler

Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig hur du beräknar areor med hjälp av integraler. Dessutom kommer vi att visa et antal räkneregler för integraler.

Arean under en kurva

Sid 221-226 - Areaberäkning med hjälp av integraler

Nu ska vi visa på en användbar tillämpning av primitiva funktioner. Vi möter begreppet integraler och lär oss hur vi kan använda oss av integraler för areaberäkningar.

När man beräknar integralen av en funktion så motsvarar det att man beräknar arean mellan grafen och x-axeln.

GeoGebran visar hur arean under kurvan mellan x = 0 och x = 2 beräknats med hjälp av en integral.

Integralberäkningar

Definition

För en funktion f som är beroende av variabeln x och kontinuerlig på [a,b] beräknas integralen av f på följande vis:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) }[/math]

där F är en primitiv funktion till f.

I det vänstra ledet har vi först integraltecknet

∫

Talen a och b anger den undre respektive den övre gränsen för det område som vi är intresserade av (i vårt exempel är a=0 och b=2). Till höger om integraltecknet med dess gränser kommer den funktion som utgör områdets övre gräns. Sist i vänstra ledet kommer dx, som anger att areaberäkningen ska ske med avseende på förändring i x-led.

I det högra ledet anges differensen F(b)−F(a)

Detta är alltså differensen mellan värdet på den primitiva funktion F vid den övre gränsen (x=b) och den undre gränsen (x=a).

[redigera]

Definition

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int_a^b \! f(x)\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx + \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) + g(x)\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx - \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) - g(x)\,dx }[/math]

Fler användbara räknelagar

Vid integrering gäller samma linearitetsegenskaper som vid derivering. Utifrån denna definition kan följande egenskaper hos integraler härledas:

[math]\displaystyle{ \int a\cdot f(x)dx = a\cdot\int f(x)dx }[/math]

förutsatt att konstanten a inte är lika med noll;

[math]\displaystyle{ \int\left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx }[/math]

där f(x) och g(x) är oberoende funktioner.

Utifrån en geometrisk tolkning kan ytterligare egenskaper hos integraler påvisas:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^a f(x)dx = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx }[/math]

Dessutom påverkas inte integreringen av integrationsvariabeln:

[math]\displaystyle{ \int f(x)dx = \int f(t)dt }[/math]

Följande två satser är användbara vid analytisk beräkning av primitiva funktioner:

[math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C }[/math];

[math]\displaystyle{ \int f(x)\cdot f'(x)dx = \frac{f(x)^2}{2} + C }[/math].

Den senare kan sägas vara den omvända kedjeregeln och man ser enkelt att båda gäller genom att derivera högerledet.

Dessa regler, tillsammans med partialintegration och lämpliga variabelbyten, utgör grunden för att analytiskt bestämma primitiva funktioner.

[redigera]

Förklaring med hjälp av Riemannsumman

Integral - Riemannsumma

Kan man tänka sig någon trevlig frågeställning som ingång till integralerna?

Börja med att visa Riemannsumman för att ta reda på arean under en graf.

GeoGebra om Riemannsumma in här

Övning Riemannsumma i GGb

Uppgift

laborera själv i Geogebra

Denna GGB ger dig möjlighet att flytta stapeln och att testa olika funktioner.

Du kan ändra på antalet staplar och se hur det påverkar beräkningen.

Här är GGB:n:

Vad lärde du dig av denna övning?

Uppg 2

Testa denna: http://www.geogebratube.org/student/m11330

Hur hanteras negativa areor?

Uppg 3

Man kan skapa Riemannsummor mellan två funktioner:

@@ Rad 176: / Rad 176: @@
 Läs gärna vad {{svwp | Analysens_fundamentalsats}} även om det är på en hög nivå för det är så häftigt.
+=== Det röda överskottet ===
+För att göra beviset mer överskådligt ar vi lyft ut ett resonemang om det röda överskottet. Kan vi vara säkra på att det går mot noll då h går mot noll, vi dividerar ju med h?
+As ''h'' approaches 0 in the [[limit of a function|limit]], the last fraction can be shown to go to zero.<ref>[[Lipman Bers|Bers, Lipman]]. ''Calculus'', pp.&nbsp;180–181 (Holt, Rinehart and Winston (1976).</ref> This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle.  More precisely,
+:<math>\left|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right| = \frac{|\text{Red Excess}|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>
+where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where {{mvar|f}} reaches its maximum and its minimum, respectively, in  the interval {{math|[''x'', ''x'' + ''h'']}}.
+By the continuity of {{math|''f''}}, the latter expression tends to zero as {{math|''h''}} does.  Therefore, the left-hand side tends to zero as {{math|''h''}} does, which implies
+:<math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.</math>
 === Anteckningar från lektionen ===

Bestämda integraler: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 18 februari 2021 kl. 06.53

Arean under en kurva

Integralberäkningar

Lösta exempel

Uppgift från NP ht 2012 - A-nivå

Fler användbara räknelagar

Begynnelsehastighet och förändring av hastigheten

Arean

Animering av sträcka under vt-kurva

Sträckan

Geometriskt bevis

Det röda överskottet

Anteckningar från lektionen

Förklaring med hjälp av Riemannsumman

Övning Riemannsumma i GGb

Uppg 2

Uppg 3

Helhet och teori

Mer om integraler

Exit card

Navigeringsmeny

Bestämda integraler: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 18 februari 2021 kl. 06.53

Arean under en kurva

Integralberäkningar

Navigeringsmeny

Sök