Komplexa tal Ma2c: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Visuell
Rad 30: Rad 30:
{{defruta|'''Komplexa tal'''
{{defruta|'''Komplexa tal'''
<br />
<br />
:<math>\sqrt{-1} = i </math>


: <math> i^2 = -1 </math>
: <math> i^2 = -1 </math>
Rad 41: Rad 40:
: <math>Re z = a</math>
: <math>Re z = a</math>
: <math>Im z = b</math>
: <math>Im z = b</math>
Imaginärdelen är ett reellt tal.
}}
}}


Rad 105: Rad 106:
{{clear}}
{{clear}}


= Anteckningar =
=Anteckningar=


<pdf>Fil:Anteckningar_Komplexa_rötter.pdf</pdf>
<pdf>Fil:Anteckningar_Komplexa_rötter.pdf</pdf>

Versionen från 21 februari 2019 kl. 10.04


[redigera]


Load video
YouTube
Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction
Mål för undervisningen Komplxa tal

Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.


Komplexa tal

Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (Re) och en imaginärdel (Im)

De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

[math]\displaystyle{ z\ = a + b\,\mathrm i }[/math]

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten med egenskapen

[math]\displaystyle{ \ \mathrm i^2\ = {-1} }[/math]

Komplexa rötter

Load video
YouTube
komplexa tal

Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan Tal och talmängder

Definition
Komplexa tal


[math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math]


Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math].

[math]\displaystyle{ z = a + bi }[/math]
[math]\displaystyle{ Re z = a }[/math]
[math]\displaystyle{ Im z = b }[/math]

Imaginärdelen är ett reellt tal.


Komplexa tal och andragradsekvationer

Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

med lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} }[/math]

Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten

[math]\displaystyle{ \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \lt 0 }[/math]

Exempel 1

Exempel
En andragradsekvation har två rötter

En andragradsekvation

[math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0, a\neq 0 }[/math]

har alltid två rötter. Dessa är

[math]\displaystyle{ x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} }[/math]

Om uttrycket under rottecknet är

  • större än noll, är rötterna olika och reella
  • mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
  • lika med noll, är rötterna lika och reella


Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Komplexa_tal_Ma2c&oldid=50333”