Komplexa tal Ma2c: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Versionen från 14 februari 2019 kl. 09.20

[redigera]

Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction

Mål för undervisningen Komplxa tal

Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.

Komplexa tal

De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

[math]\displaystyle{ z\ = a + b\,\mathrm i }[/math]

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten med egenskapen

[math]\displaystyle{ \ \mathrm i^2\ = {-1} }[/math]

Komplexa rötter

komplexa tal

Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan Tal och talmängder

Definition

Komplexa tal

[math]\displaystyle{ \sqrt{-1} = i }[/math]

[math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math]

Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math].

[math]\displaystyle{ z = a + bi }[/math]

[math]\displaystyle{ Re z = a }[/math]

[math]\displaystyle{ Im z = b }[/math]

Komplexa tal och andragradsekvationer

Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

med lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} }[/math]

Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten

[math]\displaystyle{ \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \lt 0 }[/math]

[redigera]

Exempel

x² = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa.

[math]\displaystyle{ x^2 = -16 }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{-16} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{i^2 * 16} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \pm i * 4 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1 = 4i }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2 = -4i }[/math]

x²-4x+13=0 har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

[math]\displaystyle{ x^2 - 4x + 13 = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ {{pq-formeln}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 } }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{-9} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 2 \pm 3i }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1 = 2 +3i }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2 = 2 - 3i }[/math]

Läs mer: Komplexa tal på wikipedia

[redigera]

Öva online

Öva på Khan: Graphically add & subtract complex numbers

Uppgift

Uppgift

CAS i Geogebra

Lär dig lösa andragradsekvationer med CAS-modulen i GeoGebra.

CAS står för Computer Algebra System.

GeoGebra Quickstart Tutorial.

[redigera]

Vad ska man ha komplexa tal till?

Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.

Komplexa tal används när man räknar på växelström.
- j-omegametoden

[redigera]

Visualisera komplexa rötter

[redigera]

Swayen till detta avsnitt: [https xxx]

Wikipedia Komplexa tal

Läs om Komplexatal

Texter från högskolan

Komplexa tal i elläran

En wiki med mycket teknik

j-omegametoden

Fördjupning som hör till Ma4

Magnus Rönnholm, CC

Konjugatet

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

[math]\displaystyle{ \bar{z} = a - b\,\mathrm i }[/math]

För konjugatet gäller

[math]\displaystyle{ \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| \overline{z} \right| = \left| z \right| }[/math]

Absolutbeloppet

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]

eller

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} }[/math]

För absolutbeloppet gäller

[math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]

[math]\displaystyle{ \left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|} }[/math]

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 __NOTOC__
-= Teori =
+=Teori=
-[[File:NumberSetinC.svg|NumberSetinC]]
+[[Fil:NumberSetinC.svg|alt=|höger|324x324px]]
+<br />
 {{#ev:youtube|T647CGsuOVU|320|right|Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction}}
 {{malruta | Komplxa tal
@@ Rad 10: / Rad 10: @@
 }}
-=== Komplexa tal ===
+===Komplexa tal===
 [[Fil:ComplexaTalplanet-3.png|miniatyr|upright=1.2|Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (''Re'') och en imaginärdel (''Im'')]]
 De '''komplexa talen''' kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som
 :<math>z\ = a + b\,\mathrm i</math>
 där det reella talet ''a'' är '''realdelen''', det reella talet ''b'' är '''imaginärdelen''' och '''i''' är den imaginära enheten med egenskapen
 :<math>\ \mathrm i^2\ = {-1}</math>
 {{clear}}
-=== Komplexa rötter ===
+===Komplexa rötter===
 {{#ev:youtube|DHoRnxqnWrw|320|right|komplexa tal}}
@@ Rad 40: / Rad 43: @@
 }}
-=== Komplexa tal och andragradsekvationer ===
+===Komplexa tal och andragradsekvationer===
 Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:
@@ Rad 54: / Rad 57: @@
 :<math>  \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} < 0 </math>
-= Exempel =
+=Exempel=
 {{exruta|
@@ Rad 85: / Rad 88: @@
 {{clear}}
-= Uppgifter =
+=Uppgifter=
-=== Öva online ===
+===Öva online===
 {{khanruta |  [https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/adding-and-subtracting-complex-numbers/e/complex_plane_operations Graphically add & subtract complex numbers]
 }}
-=== Uppgift ===
+===Uppgift===
 {{uppgruta| '''CAS i Geogebra'''
@@ Rad 103: / Rad 106: @@
 }}
-= Relevans =
+=Relevans=
-=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===
+===Vad ska man ha komplexa tal till?===
 Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.
-* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
+*Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
-** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
+**[http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
 {{clear}}
-= Aktivitet  =
+=Aktivitet=
-=== Visualisera komplexa rötter ===
+===Visualisera komplexa rötter===
+:[https://www.geogebra.org/m/jRfwmrVf Visualisera komplexa rötter]
-: [https://www.geogebra.org/m/jRfwmrVf Visualisera komplexa rötter]
 <html>
 <iframe scrolling="no" title="Andragradsekvation, Visualisera komplexa rötter." src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/x2kvXvpb/width/839/height/448/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="839px" height="448px" style="border:0px;"> </iframe>
 </html>
-= Lär mer =
+=Lär mer=
 {| align="right"
 |-
-| {{sway | [https xxx]}}<br />
+|{{sway | [https xxx]}}<br />
 |-
-| {{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal] }}<br />
+|{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal] }}<br />
 |-
-| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/komplexa-tal Komplexatal] }}<br />
+|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/komplexa-tal Komplexatal] }}<br />
 |}
-=== Texter från högskolan ===
+===Texter från högskolan===
-* [http://www.eit.lth.se/fileadmin/eit/courses/etia01/1112/Frekvensplanet.pdf Komplexa tal i elläran]
+*[http://www.eit.lth.se/fileadmin/eit/courses/etia01/1112/Frekvensplanet.pdf Komplexa tal i elläran]
-=== En wiki med mycket teknik ===
+===En wiki med mycket teknik===
-* [http://wiki.sikvall.se/index.php/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
+*[http://wiki.sikvall.se/index.php/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
-=== Fördjupning som hör till Ma4 ===
+===Fördjupning som hör till Ma4===
 {{#ev:youtube | eAr3YbPgrIY | 340 | right |Magnus Rönnholm, CC}}
-==== Konjugatet ====
+====Konjugatet====
 Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i ''x''-axeln:
 :[[Fil:ComplexaTalplanet.svg|left|140px]]
 {{clear|left}}
@@ Rad 153: / Rad 158: @@
 Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som
-: <math> \bar{z} = a - b\,\mathrm i </math>
+:<math> \bar{z} = a - b\,\mathrm i </math>
 För konjugatet gäller
-: <math>\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\  </math>
+:<math>\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\  </math>
-: <math>\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\  </math>
+:<math>\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\  </math>
-: <math>\left| \overline{z} \right| = \left| z \right| </math>
+:<math>\left| \overline{z} \right| = \left| z \right| </math>
-==== Absolutbeloppet ====
+====Absolutbeloppet====
 Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som
-: <math>r= \sqrt{a^2 + b^2}</math>
+:<math>r= \sqrt{a^2 + b^2}</math>
 eller
-: <math>r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}</math>
+:<math>r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}</math>
 För absolutbeloppet gäller
-: <math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
+:<math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
-: <math>\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}</math>
+:<math>\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}</math>
-== Exit ticket ==
+==Exit ticket==
 <headertabs />

Komplexa tal Ma2c: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 14 februari 2019 kl. 09.20

Komplexa tal

Komplexa rötter

Komplexa tal och andragradsekvationer

Öva online

Uppgift

Vad ska man ha komplexa tal till?

Visualisera komplexa rötter

Texter från högskolan

En wiki med mycket teknik

Fördjupning som hör till Ma4

Konjugatet

Absolutbeloppet

Exit ticket

Navigeringsmeny

Sök