Deriveringsregler för exponentialfunktioner

Teori

Exempel

Härledning med derivatans definition

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

Naturliga logaritmen

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Naturliga logaritmer bygger på basen e

Om vi har talet 3 och vill skriva om det som en potens med basen 10 gör vi på följande sätt:

[math]\displaystyle{ 3 = 10^{lg3} }[/math]

På samma sätt kan vi skriva om ett tal som en potens med basen e, där logaritmen för talet e betecknas som ln och kallas den naturliga logaritmen. För att skriva om talet 3 som en potens med basen e gör vi på följande sätt:

[math]\displaystyle{ 3 = e^{ln3} }[/math]

Om vi har ett tal a som vi vill skriva om till basen e så gör vi på följande sätt:

[math]\displaystyle{ a = e^{lna} }[/math]

Derivatan av f(x) = a^x

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

För att kunna derivera en allmän exponentialfunktion behöver vi först skriva om funktionen som en potens med basen e, vilket vi lärde oss i förra avsnittet när vi gick igenom den naturliga logaritmen. Då kan vi nämligen använda oss av deriveringsregeln för [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math].

Vi skriver om exponentialfunktionen på följande sätt:

[math]\displaystyle{ f(x) = a^x = e^{lna^{x}} = e^{x~lna} }[/math]

Nu ser vi att vår funktion har formen [math]\displaystyle{ f(x)=e^{kx} }[/math], vilket vi i tidigare avsnitt har sett derivatan för. Vi får enligt deriveringsregeln för [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math]:

[math]\displaystyle{ f′(x) = lna \cdot e^{x~lna} }[/math]

På samma sätt som vi skrev om talet som en potens med basen e kan vi backa och skriva tillbaka talet i sin ursprungliga form:

[math]\displaystyle{ f′(x) = ln~a \cdot e^{x~lna} = lna \cdot e^{lna^{x}} = lna \cdot a^x }[/math]

Vi kan sammanfatta detta och får då deriveringsregeln:

Texten ovan (båda styckena) kommer från Matteboken.se

Definition
Om derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = ln~a \cdot a^x \qquad a \gt 0 }[/math]

[redigera]

Derivatan av 2^x

Vi skriver om 2 till [math]\displaystyle{ e^{ln 2} }[/math] för att få det på basen e och kunna använda potenslagarna och deriveringsreglerna som vi har med oss sedan tidigare.

[math]\displaystyle{ y = 2^x = (e^{ln 2})^x =e^{ln 2 \cdot x} }[/math]

Nu är det en funktion på formen [math]\displaystyle{ e^{k x} }[/math] och vi kan derivera (med [math]\displaystyle{ k = ln 2 }[/math]) som vanligt.

[math]\displaystyle{ y' = ln 2 \cdot e^{ln 2 \cdot x} = ln 2 \cdot (e^{ln 2} )^x = ln 2 \cdot 2^x }[/math]

Exempel 2

Derivera funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = 3 \cdot 4^{3x} }[/math]

Vi använder oss av regeln vi precis lärde oss och får följande:

[math]\displaystyle{ f′(x)=3 \cdot 3 \cdot ln(4) \cdot 4^{3x}=9 \cdot ln(4) \cdot 4^{3x} }[/math]

Exempel 3

Temperaturen (T) i en ugn ökar enligt funktionen nedan, där x är tiden i minuter. Med hur många grader per minut ökar temperaturen vid tiden 15 minuter?

[math]\displaystyle{ T(x)=120 \cdot 1,09^x }[/math]

Lösningsförslag:

Vi ska beräkna hur många grader per minut temperaturen ökar vid tiden 15 minuter, vilket betyder att vi ska beräkna följande:

[math]\displaystyle{ T′(15) }[/math]

Vad vi vill göra är alltså att beräkna funktionens derivata och sedan undersöka derivatans värde då variabeln x (tiden) har värdet 15.

Derivatan av funktionen beräknas med hjälp av deriveringsregeln för [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math]:

[math]\displaystyle{ T′(x)=120 \cdot ln(1,09) \cdot 1,09^x }[/math]

Vi stoppar in [math]\displaystyle{ x=15 }[/math] i derivatan och får:

[math]\displaystyle{ T′(15)=120 \cdot ln(1,09) \cdot 1,09^{15} ≈ 37,7 }[/math]

Svar: Antalet grader temperaturen ökar per minut vid 15 minuter är 37,7 grader/minut.

Exeempel 2 och tre kommer från matteboken.se

[redigera]

Vid derivering av funktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant:

[math]\displaystyle{ a }[/math] kan skrivas som [math]\displaystyle{ e^{\ln a} }[/math] (se naturliga logaritmen]]) vilket innebär att [math]\displaystyle{ a^x }[/math] även kan substitueras med [math]\displaystyle{ e^{\ln a x} }[/math].

[math]\displaystyle{ f(x)= e^{\ln a x} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a (x+h)}-e^{\ln a x}}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a h}\cdot(e^{\ln a x}-1)}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{\ln a x} \cdot\frac{e^{\ln a h}-1}{h} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] nu tillsätts med ett värde, exempelvis 6 blir derivatan :

[math]\displaystyle{ f(x)= e^{6x} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{6x} \cdot\frac{e^{6h}-1}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=6\cdot e^{6x} }[/math]

Detta innebär att denna allmänna formel för exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ e^{kx} }[/math], där [math]\displaystyle{ k }[/math] är en konstant lyder:

[math]\displaystyle{ f(x)=e^{kx} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=k \cdot e^{kx} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ k }[/math] substitueras med [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] följande, om [math]\displaystyle{ a^x=e^{\ln a x} }[/math]:

[math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\ln a \cdot a^x }[/math]

[redigera]

En samling uppgifter

En samling uppgifter finns som pdf på Canvas och heter Öva logaritmer och derivering av exponentialfunktioner.

[redigera]

Repetera gärna Logaritmer från Ma2c.