Parabeln

Teori

Hur man konstruerar en parabel

En punkt på andragradsfunktionens graf har samma avstånd till styrlinjen som till fokuspunkten. Testa genom att flytta punkten så får du se. Du kan även flytta fokuspunkten och styrlinjen.

Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus

Länk till filen på Geogebratube: http://www.geogebratube.org/material/show/id/39100

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Lösning av problem.

Definition
En parabel är den kurva där varje punkt på kurvan har samma avstånd till en given punkt (brännpunkten eller fokus) och till en given rät linje (styrlinjen).

Alla inkommande strålar i parabelns plan som infaller i parabelns öppna del och som är parallella med parabelns symmetrilinje reflekteras mot samma punkt, brännpunkten. Denna ligger på symmetriaxeln ett kort stycke från parabelns vertex.

Mer om parabeln

En parabel. F är brännpunkten (focus), I är styrlinjen (directrix) och A är extrempunkten (vertex). Avståndet till brännpunkten är lika med avståndet till styrlinjen för varje punkt på parabeln.

Definition
Brännpunkt kallas också fokus. Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln. Brännpunkten (fokuspunkten) är den punkt där alla parallellt infallande ljusstrålar sammanfaller.

Uppgift
Fundera: Vad är inte en parabel? Vad är skillnaden på parabel och parabol?

Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje

Övningsuppgift: hitta funktionen

Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.

1. Börja med att markera en punkt (x,y) på grafen i första kvadranten.
2. Skriv ett uttryck för avståndet från (x, y) till linjen.
3. Skriv ett uttryck för avståndet från (x, y) fokus.
4. Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två uttrycken lika.
5. Lös ut y ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.

Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.

Aktiviteter

Praktisk övning

Uppgift
Hur gjorde man förr? Konstruera parablar med hjälp av snöre, penna, fokalpunkt och styrlinje.

En PhET-simulering

PhET står för Physics, Education & Technology och är en avdelning vid universitetet i Colorado och de tillverkar många fina simuleringar inom matematik, fysik och kemi.

Parabeln kan skrivas som en funktion [math]\displaystyle{ y = ax^2 + bx +c }[/math] men det talar vi om senare i kursen.

Uppgift

Återskapa pHET-en ovan i GeoGebra Målet är att skapa en snygga applikation som kommunicerar matematik genom att den som använder din GeoGebraapplikation ska lära sig något. Skriv in funktionen på allmän form. Låt glidarna skapas. Placera ut objekten snyggt. Sätt färg. Välj textstorlek och tjocklek på kurvan. Skriv en förklarande text så att användaren får en uppgift att utföra och lär sig något. När du har en snygg applikationen visar du den för någon i rummet som inte sett den innan och ber om respons. Nu tar du responsen och förbättrar din applikation och sedan sparar du den på din profil.

Lär mer

1. Artikeln på Wikipedia:Parabola avslutas med ett fint bildgalleri med tillämpningar.
2. Parabelns egenskaper i med tangenter och normaler. Du kan lära dig mer om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna datorövning: Malin C GGB-övning
3. Du lägger in styrlinje och fokuspunkt i GGB. Kan du använda avståndsformeln för att definiera en punkt med x-värde som ändras med en glidare och y-värde som ger samma avstånd till styrlinjen som till fokuspunkten? Punkten lägger du trace på.