Rotekvationer Ma2c: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) (→Teori) |
Hakan (diskussion | bidrag) (→Teori) |
||
| Rad 16: | Rad 16: | ||
{{#ev:youtube|8hY6gm_NTMg|320|right|Rotekvationen}} | {{#ev:youtube|8hY6gm_NTMg|320|right|Rotekvationen}} | ||
{{satsruta| | |||
'''Algebrans fundamentalsats''' kan formuleras som | '''Algebrans fundamentalsats''' kan formuleras som | ||
| Rad 24: | Rad 24: | ||
''av graden <math>n>0</math> med komplexa koefficienter <math>a_0 \ldots a_n</math> har minst en komplex rot.'' | ''av graden <math>n>0</math> med komplexa koefficienter <math>a_0 \ldots a_n</math> har minst en komplex rot.'' | ||
}} | |||
Varje algebraisk ekvation med komplexa [[koefficient]]er av graden <math>n</math>, där <math>n</math> är större än 1, har precis <math>n</math> komplexa [[nollställe]]n, räknade med [[multiplicitet]] (några rötter kan vara lika). Detta kan tyckas vara ett strängare påstående, men det kan lätt visas vara ekvivalent med satsformuleringen genom användning av [[faktorsatsen]]. | Varje algebraisk ekvation med komplexa [[koefficient]]er av graden <math>n</math>, där <math>n</math> är större än 1, har precis <math>n</math> komplexa [[nollställe]]n, räknade med [[multiplicitet]] (några rötter kan vara lika). Detta kan tyckas vara ett strängare påstående, men det kan lätt visas vara ekvivalent med satsformuleringen genom användning av [[faktorsatsen]]. | ||
| Rad 29: | Rad 30: | ||
Koefficienterna anges som [[komplexa tal]] vilken innefattar de [[reella tal]]en, då dessa är [[isomorf]]a med de komplexa tal för vilka imaginärdelen är noll. | Koefficienterna anges som [[komplexa tal]] vilken innefattar de [[reella tal]]en, då dessa är [[isomorf]]a med de komplexa tal för vilka imaginärdelen är noll. | ||
=== exempel === | ==Exempel 1== | ||
En [[andragradsekvation]] | |||
:<math>ax^2 + bx + c = 0, a\neq 0</math> | |||
har alltid '''två''' rötter. Dessa är | |||
:<math>x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}</math> | |||
Om uttrycket under rottecknet är | |||
* större än noll, är rötterna olika och reella | |||
* mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella | |||
* lika med noll, är rötterna lika och reella | |||
=== exempel 2 === | |||
Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden. | Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden. | ||
Versionen från 15 februari 2018 kl. 06.07
|
|
.svg)
Teori
| Definition |
|---|
|
Varje algebraisk ekvation med komplexa koefficienter av graden [math]\displaystyle{ n }[/math], där [math]\displaystyle{ n }[/math] är större än 1, har precis [math]\displaystyle{ n }[/math] komplexa nollställen, räknade med multiplicitet (några rötter kan vara lika). Detta kan tyckas vara ett strängare påstående, men det kan lätt visas vara ekvivalent med satsformuleringen genom användning av faktorsatsen.
Koefficienterna anges som komplexa tal vilken innefattar de reella talen, då dessa är isomorfa med de komplexa tal för vilka imaginärdelen är noll.
Exempel 1
- [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0, a\neq 0 }[/math]
har alltid två rötter. Dessa är
- [math]\displaystyle{ x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} }[/math]
Om uttrycket under rottecknet är
- större än noll, är rötterna olika och reella
- mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
- lika med noll, är rötterna lika och reella
exempel 2
Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.
- [math]\displaystyle{ \sqrt{x+2} = x }[/math]
Kvadrera båda sidorna:
- [math]\displaystyle{ x+2 = x^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^2 - x - 2 = 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{8}{4}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_1 = - 1, x_2 = 2 }[/math]
Viktigt att kolla om man har falska rötter.
[math]\displaystyle{ -1 }[/math] är en falsk rot eftersom den inte gör att vänster led och höger led blir lika i ursprungsekvationen.
Svaret är alltså [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math]
Aktivitet
| Uppgift |
|---|
| xxx'
|