Komplexa tal Ma2c

Teori

Vad ska man ha komplexa tal till?

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

komplexa tal

• Komplexa tal används när man räknar på växelström.
  • Titta på denna ppt från Uppsala.
  • j-omegametoden

Komplexa rötter

x² = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.

x²+3x+16=0 har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

Definition
Komplexa tal [math]\displaystyle{ \sqrt{-1} = i }[/math] [math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math] Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math]. [math]\displaystyle{ z = a + bi }[/math]

Läs mer: Komplexa tal på wikipedia

Inledning

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Magnus Rönnholm, CC

[math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math]

[math]\displaystyle{ z\ = a + b\,\mathrm i }[/math]

[math]\displaystyle{ Re z = a }[/math]

[math]\displaystyle{ Im z = b }[/math]

Konjugatet

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

[math]\displaystyle{ \bar{z} = a - b\,\mathrm i }[/math]

För konjugatet gäller

[math]\displaystyle{ \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| \overline{z} \right| = \left| z \right| }[/math]

Absolutbeloppet

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]

eller

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} }[/math]

För absolutbeloppet gäller

[math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]

[math]\displaystyle{ \left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|} }[/math]

Aktivitet

Uppgift

Uppgift
CAS i Geogebra' Lär dig lösa andragradsekvationer med CAS-modulen i GeoGebra. CAS står för Computer Algebra System. GeoGebra Quickstart Tutorial.