Komplexa tal Ma2c: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 41: | Rad 41: | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
== [[ | == Inledning == | ||
{{#ev:youtube | eAr3YbPgrIY | 340 | right |Magnus Rönnholm, CC}} | |||
: <math>i^2 = -1</math> | |||
: <math>z\ = a + b\,\mathrm i</math> | |||
: <math>Re z = a</math> | |||
: <math>Im z = b</math> | |||
=== Konjugatet === | |||
Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i ''x''-axeln: | |||
:[[Fil:ComplexaTalplanet.svg|left|140px]] | |||
{{clear|left}} | |||
Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som | |||
: <math> \bar{z} = a - b\,\mathrm i </math> | |||
För konjugatet gäller | |||
: <math>\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ </math> | |||
: <math>\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ </math> | |||
: <math>\left| \overline{z} \right| = \left| z \right| </math> | |||
=== Absolutbeloppet === | |||
Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som | |||
: <math>r= \sqrt{a^2 + b^2}</math> | |||
eller | |||
: <math>r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}</math> | |||
För absolutbeloppet gäller | |||
: <math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math> | |||
: <math>\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}</math> | |||
=== Öva online === | |||
{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/adding-and-subtracting-complex-numbers/e/complex_plane_operations Graphically add & subtract complex numbers] | |||
}} | |||
== Aktivitet == | == Aktivitet == | ||
Versionen från 3 januari 2018 kl. 20.44
|
|
.svg)
Teori
| Definition |
|---|
| Komplexa tal
Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math].
|
Läs mer: Komplexa tal på wikipedia
Vad ska man ha komplexa tal till?
- Komplexa tal används när man räknar på växelström.
- Titta på denna ppt från Uppsala.
- j-omegametoden
Komplexa rötter
x2 = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.
x2+3x+16=0 har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
Inledning
- [math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ z\ = a + b\,\mathrm i }[/math]
- [math]\displaystyle{ Re z = a }[/math]
- [math]\displaystyle{ Im z = b }[/math]
Konjugatet
Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:
Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som
- [math]\displaystyle{ \bar{z} = a - b\,\mathrm i }[/math]
För konjugatet gäller
- [math]\displaystyle{ \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left| \overline{z} \right| = \left| z \right| }[/math]
Absolutbeloppet
Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som
- [math]\displaystyle{ r= \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]
eller
- [math]\displaystyle{ r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} }[/math]
För absolutbeloppet gäller
- [math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|} }[/math]
Öva online
Aktivitet
| Uppgift |
|---|
| xxx'
|