Potensfunktioner: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) (→Teori) |
||
Rad 19: | Rad 19: | ||
[[File:Potenssi 1 3 5.png|mini|upright=1.1|Potensfunktioner med ''a'' = 1, 3 och 5]] | [[File:Potenssi 1 3 5.png|mini|upright=1.1|Potensfunktioner med ''a'' = 1, 3 och 5]] | ||
En '''potensfunktion''' är en funktion av typen <math>f(x) = x^a</math>, där ''a'' är en konstant. Några exempel på potensfunktioner: | En '''potensfunktion''' är en funktion av typen <math>f(x) = x^a</math>, där ''a'' är en konstant. | ||
Några exempel på potensfunktioner: | |||
* <math>f(x) = x^2</math> | * <math>f(x) = x^2</math> |
Versionen från 7 november 2017 kl. 07.22
|
Teori
Definition |
---|
|
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Potenssi_1_3_5.png/330px-Potenssi_1_3_5.png)
En potensfunktion är en funktion av typen [math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math], där a är en konstant.
Några exempel på potensfunktioner:
- [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = x^{3,5} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = x = x^{1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} = x^{0,5} }[/math]
Det förekommer att även funktioner av typen [math]\displaystyle{ f(x) = k \cdot x^a }[/math] kallas potensfunktioner.
Några egenskaper för potensfunktioner:
- Om exponenten a är ett jämnt tal är funktionens värde noll eller positivt (förutsatt att definitionsmängden är reell). Detta följer av att även negativa x-värden blir positiva när de kvadreras.
- Om exponenten a är positiv är f(0) = 0.
- Om exponenten a är negativ divergerar funktionen vid x = 0, det vill säga att funktionens värde blir obegränsat stort/litet när x närmar sig noll.
- Om exponenten a inte är ett heltal finns inga reella värden för potensfunktionen då x är mindre än noll och man brukar därför vanligtvis använda definitionsmängden x ≥ 0 i dessa lägen.
Potensfunktioner liknar exponentialfunktioner i sin form, eftersom båda innehåller potenser, men har radikalt andra egenskaper.
Texten från Wikipedia
Aktivitet
Rita funktioner i GeoGebra
Uppgift |
---|
Undersök några potensfunktioner i GeoGebra. Testa funktionerna från teoriavsnittet:
|
Lös ett klassiskt fysikproblem med GeoGebra
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/Azhikkode_22.jpg/300px-Azhikkode_22.jpg)
Uppgift |
---|
Rörelseenergi
Rörelseenergin, [math]\displaystyle{ E }[/math], hos ett föremål ökar med kvadraten på hastigheten enligt formeln:
där [math]\displaystyle{ m }[/math] är massan och [math]\displaystyle{ v }[/math] hastigheten. Använd GeoGebra för att ta reda på vid vilken hastighet ett föremål som väger 15 kg har rörelseenergin 2500 J. Lägg in en linje för [math]\displaystyle{ y = 2500 }[/math] så ser du skärningspunkten. Lägg nu in en glidare för m och undersök vilken hastighet som ger energin 2500 J om massan är 1 kg, 5 kg respektive 55 kg.
Lägesenergi (Fördjupning) Lägesenergin ges av
där tyngdaccelerationen [math]\displaystyle{ g = 9.82 }[/math] och [math]\displaystyle{ h }[/math] är höjden. Använd GeoGebra: Vilken hastighet har en kokosnöt just innan den når marken om den fallit från en 30 m hög palm? Använd algebra: Sätt energierna lika och skriv om formeln så att du löser ut[math]\displaystyle{ v }[/math]. Beräkna sedan hatigheten. Plotta din nya funktion. Vilka värden på [math]\displaystyle{ a }[/math] i funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math] har du begagnat dig av i denna uppgift? |
Lär mer
Uppgift |
---|
Vad visar GeoGebran ovan?
Vad finns det för likheter och skillnader mellan kurvorna och vad beror dessa på? Vad gör glidaren? Ange minst två sakr och förklara matematiskt. |