Potensfunktioner

[redigera]

Mål för undervisningen Potensfunktioner

Här undersöker vi potensfunktioner.

Mikael Bondestam om potensfunktionen, 2.47 min.

En potensfunktion är en funktion av typen [math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math], där a är en konstant.

Några exempel på potensfunktioner:

[math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = x^{3,5} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = x = x^{1} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} = x^{0,5} }[/math]

Det förekommer att även funktioner av typen [math]\displaystyle{ f(x) = k \cdot x^a }[/math] kallas potensfunktioner.

Några egenskaper för potensfunktioner:

Om exponenten a är ett jämnt tal är funktionens värde noll eller positivt (förutsatt att definitionsmängden är reell). Detta följer av att även negativa x-värden blir positiva när de kvadreras.
Om exponenten a är positiv är f(0) = 0.
Om exponenten a är negativ divergerar funktionen vid x = 0, det vill säga att funktionens värde blir obegränsat stort/litet när x närmar sig noll.
Om exponenten a inte är ett heltal finns inga reella värden för potensfunktionen då x är mindre än noll och man brukar därför vanligtvis använda definitionsmängden x ≥ 0 i dessa lägen.

Definition
[math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math] är en potensfunktion

Texten från Wikipedia

[redigera]

Exempel

Grafisk ekvationslösning

Lös ekvationen [math]\displaystyle{ x^2 - 3 = 6 }[/math] grafiskt

Lösning består i att rita funktionerna [math]\displaystyle{ y = x^2 - 3 }[/math] och [math]\displaystyle{ y = 6 }[/math] och finna skärningspunkterna.

Lösningarna är [math]\displaystyle{ x = \pm 3 }[/math]

[redigera]

Rita funktioner i GeoGebra

Uppgift

Undersök några potensfunktioner i GeoGebra.

Testa funktionerna från teoriavsnittet:

[math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = x^{3,5} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = x = x^{1} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} = x^{0,5} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = - x^2 + 3x - 2 }[/math]

Lös ett klassiskt fysikproblem med GeoGebra

Uppgift

Rörelseenergi

Rörelseenergin, [math]\displaystyle{ E }[/math], hos ett föremål ökar med kvadraten på hastigheten enligt formeln:

[math]\displaystyle{ E_r\,=\,m\frac{v^2}{2} }[/math]

där [math]\displaystyle{ m }[/math] är massan och [math]\displaystyle{ v }[/math] hastigheten.

Använd GeoGebra för att ta reda på vid vilken hastighet ett föremål som väger 15 kg har rörelseenergin 2500 J.

Lägg in en linje för [math]\displaystyle{ y = 2500 }[/math] så ser du skärningspunkten.

Lägg nu in en glidare för m och undersök vilken hastighet som ger energin 2500 J om massan är 1 kg, 5 kg respektive 55 kg.

Lägesenergi (Fördjupning)

Lägesenergin ges av

[math]\displaystyle{ E_l\,=\,m\,g\,h }[/math]

där tyngdaccelerationen [math]\displaystyle{ g = 9.82 }[/math] och [math]\displaystyle{ h }[/math] är höjden.

Använd GeoGebra: Vilken hastighet har en kokosnöt just innan den når marken om den fallit från en 30 m hög palm?

Använd algebra: Sätt energierna lika och skriv om formeln så att du löser ut [math]\displaystyle{ v }[/math]. Beräkna sedan hastigheten.

Plotta din nya funktion.

Vilka värden på [math]\displaystyle{ a }[/math] i funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math] har du begagnat dig av i denna uppgift?

[redigera]

Gissa talet

Programmeringsuppgift

Python-hjälp Fler uppgifter

Mål för undervisningen Kom igång med programmering i matematiken.

Målet är att du ska köra ditt första program för att utföra matematiska beräkningar. Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.

Uppgift
Gissa ett tal Kör programmet tillsammans med en kompis. Kör det flera gånger. Vilken strategi ger minst antal gissningar? Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin? Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?

Python-koden

# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att gissa det tal som din kamrat matar in. Du kan alltid avbryta programmet genom att skriva 'exit'.")

# Ange ett tal
number = input("Ange ett tal mellan 1 - 100. ")

# använd heltal
number = int(number)

# räknare
guess = 0
count = 0

# räknare
while guess != number:

# gissa talet
    guess = input ("Gissa talet som din kamrat har angett: ")
    if guess == "exit":
        break
# räkna gissningar
    guess = int(guess)
    count += 1
       
# jämför gissning med tal
    if guess < number:
        print("Talet du angav ar mindre an det sokta talet.")
    elif guess > number:
        print("Talet du angav ar storre an det sokta talet.")
    else:
        print("Grattis! Du har gissat talet som din kamrat har angett.")
        print("Talet är:",number,)        
        print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")
        
# visar resultatet så länge vi vill 
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.