Potensfunktioner

Teori

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Mikael Bondestam om potensfunktionen, 2.47 min.

Definition
[math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math] är en potensfunktion

Potensfunktioner med a = 1, 3 och 5

En potensfunktion är en funktion av typen [math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math], där a är en konstant. Några exempel på potensfunktioner:

• [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = x^{3,5} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = x = x^{1} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} = x^{0,5} }[/math]

Det förekommer att även funktioner av typen [math]\displaystyle{ f(x) = k \cdot x^a }[/math] kallas potensfunktioner.

Några egenskaper för potensfunktioner:

• Om exponenten a är ett jämnt tal är funktionens värde noll eller positivt (förutsatt att definitionsmängden är reell). Detta följer av att även negativa x-värden blir positiva när de kvadreras.
• Om exponenten a är positiv är f(0) = 0.
• Om exponenten a är negativ divergerar funktionen vid x = 0, det vill säga att funktionens värde blir obegränsat stort/litet när x närmar sig noll.
• Om exponenten a inte är ett heltal finns inga reella värden för potensfunktionen då x är mindre än noll och man brukar därför vanligtvis använda definitionsmängden x ≥ 0 i dessa lägen.

Potensfunktioner liknar exponentialfunktioner i sin form, eftersom båda innehåller potenser, men har radikalt andra egenskaper.

Texten från Wikipedia

Aktivitet

Rita funktioner i GeoGebra

Uppgift
Undersök några potensfunktioner i GeoGebra. Testa funktionerna från teoriavsnittet: [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = x^{3,5} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = x = x^{1} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} = x^{0,5} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = - x^2 + 3x - 2 }[/math]

Lös ett klassiskt fysikproblem med GeoGebra

Coconut tree in Kannur Beach, India

Uppgift

Rörelseenergi Rörelseenergin, [math]\displaystyle{ E }[/math], hos ett föremål ökar med kvadraten på hastigheten enligt formeln: [math]\displaystyle{ E_r\,=\,m\frac{v^2}{2} }[/math] där [math]\displaystyle{ m }[/math] är massan och [math]\displaystyle{ v }[/math] hastigheten. Använd GeoGebra för att ta reda på vid vilken hastighet ett föremål som väger 15 kg har rörelseenergin 2500 J. Lägg in en linje för [math]\displaystyle{ y = 2500 }[/math] så ser du skärningspunkten. Lägg nu in en glidare för m och undersök vilken hastighet som ger energin 2500 J om massan är 1 kg, 5 kg respektive 55 kg. Lägesenergi (Fördjupning) Lägesenergin ges av [math]\displaystyle{ E_l\,=\,m\,g\,h }[/math] där tyngdaccelerationen [math]\displaystyle{ g = 9.82 }[/math] och [math]\displaystyle{ h }[/math] är höjden. Använd GeoGebra: Vilken hastighet har en kokosnöt just innan den når marken om den fallit från en 30 m hög palm? Använd algebra: Sätt energierna lika och skriv om formeln så att du löser ut[math]\displaystyle{ v }[/math]. Beräkna sedan hatigheten. Plotta din nya funktion. Vilka värden på [math]\displaystyle{ a }[/math] i funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math] har du begagnat dig av i denna uppgift?

Lär mer

Uppgift
Vad visar GeoGebran ovan? Vad finns det för likheter och skillnader mellan kurvorna och vad beror dessa på? Vad gör glidaren? Ange minst två sakr och förklara matematiskt.