Räkna med komplexa tal: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
||
| Rad 31: | Rad 31: | ||
: <math> \frac{2-i}{3+2 i} </math> | : <math> \frac{2-i}{3+2 i} </math> | ||
då förlänger vi med | då förlänger vi med konjugatet | ||
: <math> \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)} = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i + 2 (- 1)}{9+4} = \frac{ 6-7 i - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} + \frac{ -7 i }{13}</math> | : <math> \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)} = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i + 2 (- 1)}{9+4} = \frac{ 6-7 i - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} + \frac{ -7 i }{13}</math> | ||
Versionen från 1 april 2015 kl. 09.25
Potenser av i
| potens av [math]\displaystyle{ i }[/math] | resultat |
|---|---|
| [math]\displaystyle{ i }[/math] | i |
| [math]\displaystyle{ i^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ i^3 = i \cdot i^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ i^4 }[/math] | [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ i^5 }[/math] | [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ i^6 }[/math] | [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math] |
Multiplikation med konjugatet
Eftersom multiplikation med konjugatet ger ett reellt tal kan vi förenkla bråk med komplexa tal i nämnaren.
[math]\displaystyle{ z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2 }[/math]
Exempel
Skriv om detta på forman a + b i
- [math]\displaystyle{ \frac{2-i}{3+2 i} }[/math]
då förlänger vi med konjugatet
- [math]\displaystyle{ \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)} = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i + 2 (- 1)}{9+4} = \frac{ 6-7 i - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} + \frac{ -7 i }{13} }[/math]
Fundera
Fundera på denna uppgift:
- z_2 är en spegling av z_1 i y-axeln. Vad kan man säga om produkten av z_1 z_2