Derivatan av en kvot: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
Hakan (diskussion | bidrag) (→Bevis) |
||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
== Bevis == | == Bevis == | ||
Vi ska derivera kvoten av två funktioner: | |||
<math> | |||
y = \frac{f(x)}{g(x)} </math> | |||
Börja med att beräkna derivatan av funktionen ''1/g''. Derivatan av en sammansatt funktion, och vetskapen att derivatan av 1/''x'' är -1/''x''<sup>2</sup>, ger att | Börja med att beräkna derivatan av funktionen ''1/g''. Derivatan av en sammansatt funktion, och vetskapen att derivatan av 1/''x'' är -1/''x''<sup>2</sup>, ger att | ||
Versionen från 7 december 2014 kl. 12.12
Bevis
Vi ska derivera kvoten av två funktioner:
[math]\displaystyle{ y = \frac{f(x)}{g(x)} }[/math]
Börja med att beräkna derivatan av funktionen 1/g. Derivatan av en sammansatt funktion, och vetskapen att derivatan av 1/x är -1/x2, ger att
- [math]\displaystyle{ \left( \frac{1}{g}\right)^\prime =-\frac{g^\prime}{g^2} }[/math]
Därmed kan produktregeln användas för att räkna ut derivatan av f(x)/g(x):
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime =\left(f \cdot \frac{1}{g}\right)^\prime = f^\prime \cdot \frac{1}{g} + \left(\frac{1}{g}\right)^\prime \cdot f =\frac{f^\prime g}{g^2}-\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}=\frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2} }[/math]
Frågor