Derivatan av logaritmfunktionen: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Rad 7: Rad 7:


: <math>y= ln x </math>  är liktydigt med att <math> e^y = x</math>
: <math>y= ln x </math>  är liktydigt med att <math> e^y = x</math>
:
<br />
: Derivera nu  <math> e^y = x</math> på båda sidorna med avseende på x.  I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.
: Derivera nu  <math> e^y = x</math> på båda sidorna med avseende på x.  I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.
:
<br />
: <math> y' \cdot e^y = 1 </math>
: <math> y' \cdot e^y = 1 </math>
:
<br />
: Stuva om i ekvationen så får vi:
: Stuva om i ekvationen så får vi:
:
<br />
: <math> y' = \frac{1}{e^y} </math>
: <math> y' = \frac{1}{e^y} </math>
:
<br />
: Men <math> e^y = x </math> så
: Men <math> e^y = x </math> så
:
<br />
: <math> y' = \frac{1}{x} </math>
: <math> y' = \frac{1}{x} </math>
:  
:<br />
: V.S.B.
: V.S.B.

Versionen från 24 november 2014 kl. 22.49

Flippa = Se denna till nästa lektion!

Derivatan av logaritmfunktionen, av Mattias Danielsson. CC By (på Youtube) -->


Bevis


[math]\displaystyle{ y= ln x }[/math] är liktydigt med att [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]


Derivera nu [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.


[math]\displaystyle{ y' \cdot e^y = 1 }[/math]


Stuva om i ekvationen så får vi:


[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{e^y} }[/math]


Men [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]


[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{x} }[/math]

V.S.B.