Algebra Ma3C: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
Rad 278: | Rad 278: | ||
:[http://www.khanacademy.org/math/algebra/polynomials/e/factoring_difference_of_squares_1 mer faktorisering] | :[http://www.khanacademy.org/math/algebra/polynomials/e/factoring_difference_of_squares_1 mer faktorisering] | ||
}} | }} | ||
Här finns ett gäng övningar på Khan Academy som ni kan göra. Logga in med era användare så jag ser vad ni gjort. Titta på filmen där MIKAEL bondestam förenklar rationella uttryck. | |||
{{clear}} | {{clear}} | ||
Versionen från 12 december 2012 kl. 19.55
Lektion 1 Geometriskt bevis
Uppgift |
---|
Ni ska göra en ppt och förklara de fyra geometriska bevisen. Det kommer att vara CC och ni jobbar gruppvis två och tvås eller tre. Det kommer att publiceras. Ni börjar alla på papper och sedan gör ni ett som vi kommer överens om i presentationen. För att lyckas kan ni behöva läsa sidan 54 i boken eller gå tillbaks till Ma2C länk...
Exempel på förklarande ppt: Multiplikation genom uppdelning av talen Här ska ni jobba alla tillsammans på en presentation i Google Drive. Presentationen är för tillfälet stängd för redigering för att undvika klotter. --Håkan Elderstig 21 oktober 2012 kl. 12.25 (UTC) |
Resultatet ser du här till vänster.
'
'
Repetition -Algebra
Här kan du repetera kvadreringsreglerna genom at expandera fönstret nedan:
Första och andra kvadreringsreglerna
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/A_plus_b_au_carre.svg/langsv-300px-A_plus_b_au_carre.svg.png)
Kvadreringsreglerna är regler i algebran om hur man utvecklar uttrycken
[math]\displaystyle{ \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 }[/math] | (Första kvadreringsregeln) |
[math]\displaystyle{ \ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 }[/math] | (Andra kvadreringsregeln) |
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se
Förklaring (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ba+b2 = ( och ab = ba ) a2-2ab+b2 V.S.B.
Länkar:
Bondestam respektive Wille på Mattecentrum om kvadreringsregeln:
WolframAlpha Widget
Här kan du testa att låta datorn göra parentesmultiplikation:
{{#widget:WolframAlpha|id=c3f53c80c93fa003e2f8f54c64e0e386}}
Här kan du repetera konjugatregeln genom at expandera fönstret nedan:
Konjugatregeln
- Så här ser den ut:
- a2-b2 = (a-b)(a+b)
- [math]\displaystyle{ (a-b)\cdot(a+b) }[/math]
- [math]\displaystyle{ = a^2 +a\cdot b -a\cdot b -b^2 }[/math]
- vi kan stryka ab - ba = ab - ab = 0:
- [math]\displaystyle{ = a^2-b^2 }[/math]
- V.S.B.
Film
Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:
Geometriskt bevis av konjugatregeln
Första beviset
Andra beviset
Visualisering
Här gäller: [math]\displaystyle{ (x-y)\cdot(x+y) = x^2 - y^2 }[/math] Denna är gjord med Geogebra, sparad som animerad gif, upladdad till WIKIMEDIA COMMONS och länkad hit. [math]\displaystyle{ (a - b)\cdot(a + b) = a^2 - b^2 }[/math]
Uppgifter
Övningar (utan räknare)
1. [math]\displaystyle{ 1992\cdot 2008 = ? }[/math] 2. Lös [math]\displaystyle{ x^2-1=0 }[/math] för alla reella x.
Tips : Använd konjugatregeln och nollregeln för ekvationen.
Webbmatte
Lektion 2 - Repetition potenser
Repetera avsnittet om potenser genom att expandera avsnittet nedan.
Här kan du repetera potensreglerna genom at expandera fönstret nedan:
Polynom, faktorer, rötter och nollställen
- Om andragradspolynomet p(x) har nollställen x=a och x=b kan vi faktorisera polynomet till p(x) = k*(x-a)*(x-b) där k är koefficienten framför x^2-termen
- Om ett andragradspolynom saknar nollställen, kan det inte faktoriseras!
- Om ett andragradspolynom har ett enda nollställe, t.ex. dubbelroten x=a kan polynomet skrivas på formen p(x) = k*(x-a)*(x-a) = k*(x-a)^2
Hoppa över till senare: Det här är reptetion av tidigare stoff. Boken har en logisk sekvensiell uppbyggnad vilket kan bli tråkigt i längden. Ett alternativ är att gå rakt på de centrala delarna.En intressant möjlighet är att hitta en annan ingång till det nya centrala stoffet och istället repetera detta när behovet och motivationen finns.
Repetition från tidigare kurser
Rationella uttryck
Syfte
Vi ska bli nyfikna på rationella uttryck genom att undersöka hur de ser ut. Genom att beskriva dem övar vi språket. Detta ska sedan leda till en planering av vad och hur vi ska lära kommande lektioner.
Arbetsformer
Para ihop er med en elev från varje klass i grupper om två, så att det finns minst en dator i gruppen.
Här finns GeoGebra att ladda ner. Kicka på Webstart.
Uppgift |
---|
Testa ditt uttryck i GeoGebra. Fundera över varför grafen ser ut som den gör. Beskriv grafen som bildas i GeoGebra med vanliga ord.
Redovisa: Skriv in din funktion och beskrivning här: Redovisa på Google |
Mer
Andra exempel att prova i GeoGebra:
- f(x)=3/x
- h(x) = 0.1 / (x - 1)
- g(x) = 1/x^2
- f(x)= (2x^2+3x)/(x-4)
- f(x) = sin(x) / x
- Beter sig denna kurva på samma sätt som ditt uttryck? Varför/varför inte?
Planera
Sätt er nu med en annan grupp och diskutera vad man behöver lära sig för att kunna detta avsnitt, Rationella uttryck.
Faktorisering av rationella uttryck
Syfte:
- Öva på snygga redovisningar av lösningar
- Öva på faktorisering
Uppgift |
---|
|
Nyttan med Rationella funktioner
Genomgång med exempel från verkligheten
Den här ppt:n ger exempel på hur rationella funktioner dyker upp i alla möjliga tekniska praktiska sammanhang. Det är bra att förstå hur dessa funktioner beter sig för att kunna förstå och beskriva olika fenomen i vår omvärld.
Exemplen kommer från Ellära, Fysik, mm.
Nyttan i matematiken
Som så ofta förklarar vi nyttan av detta med att det behövs i fortsatt matematik. Det är svårare att förklara hur eftersom det bygger på matematik som vi inte ännu lärt oss men det kan ändå vara värt ett försök: Rationella uttryck leder oss till gränsvärden som leder till derivatan som har många tillämpningar.
jag använder bilder och teori från Wikipedia skriver om Rationella_funktioner
Uppgift |
---|
Räkneövning med röda uppgifter
s. 68 uppgift 2316 s. 71 uppgift 2330b och extrauppgiften 2331 |
Varför man inte kan dividera med noll
'
Det här är en allmänt hållen film om att dividera med noll. Den passar till området men den går inte in på rationella uttryck.
Variation Function matching
Gör den här övningen.
Av: Michael Borcherds, http://www.geogebratube.org/material/show/id/18855
<ggb_applet width="729" height="536" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
Förenkling genom faktorisering - Wolfram Alpha
Syfte
Pröva hur Wolfram Alpha gör med rationella uttryck.
Övning 1
- [math]\displaystyle{ \frac{2x-4x^2}{1-2x} \ }[/math]
- Den här kan du klippa in i Wolfram Alpha: (2x-4x^2)/(1-2x)
- Vad blir svaret?
- Hur ser grafen ut?
- Vad har funktionen för nollställer?
- Har den någon asymptot?
- Räkna för hand och se att det stämmer.
Övning 2
- [math]\displaystyle{ \frac{2x-5x^2}{1-2x} \ }[/math]
- Den här kan du klippa in i Wolfram Alpha: (2x-5x^2)/(1-2x)
- Wolfram gör polynomdivision, vad är det? Tips: Quotient and remainder:Step-by-step solution
- Vad blir resultatet?
- Beskriv Grafen
Multiplikation och division av rationella uttryck
Kom ihåg:
Räkneregler för multiplikation av bråk
(3 / 7) * (2 / 5) = (3 * 2) / (7 * 5) = 6 / 35 Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna multipliceras med varandra.
Räkneregler för division av bråk
(3 / 7) / (2 / 5) = (3 * 5) / (7 * 2) = 15 / 14 Täljaren multipliceras med nämnarens inverterade tal dvs 5/2
Addition och subtraktion av rationella uttryck
Kom ihåg: det måste vara samma nämnare när bråktal adderas och subtraheras.
1/4 + 4/9 → Vi förlänger så att båda bråken får den minsta gemensamma nämnaren.
Hitta mgn genom att faktorisera:
4 = 2 * 2 och 9 = 3 * 3 → Mgn = 2 * 2 * 3 * 3 = 4 * 9 = 36.
- Vi förlänger så att varje nämnare blir mgn: (2 * 9) / (4 * 9) + (2 * 4) / (9 * 4) = (18 / 36) + (8 / 36)
- Sedan sätter vi på ett gemensamt bråkstreck: (18+8) / 36
- Till sist förenklar vi i täljaren: 26 / 36
- Och tittar sedan om det går att förenkla något: (26 / 2) / (36 / 2) = 13 / 18
Ekvationer och olikheter
Sid 79-89.
Kursivt då ej centralt innehåll.
Ekvationer med nämnare
När man förenklar ett uttryck som t.ex. 5x + x/6 - 9/2 förlänger vi alla termer så att de får samma nämnare. Vi söker MGN. Vi har nämnarna 1, 6 och 2. Den första nämnaren förlänger vi så vi får 1*6 och den sista förlänger vi så att vi får 2*3.
(5x * 6) / (1 * 6) + x/6 - (9 * 3) / (2 * 3) = (30x + x - 27) / 6=(31x - 27) / 6
Nu ska vi lösa ekvationen 5x + x/6 - 9/2 = 0
Vi multiplicerar alla termer med samma tal, så att vi sedan kan förkorta bort nämnarna. Här ska vi multiplicera med MGN=6. Lägg märke till att vi multiplicerar alla termer med 6.
6 * (5x + x/6 - 9/2) = 6*0
6 * 5x + (6 * x)/6 -(6 * 9)/2 = 0
30x + x - 27 = 0
31x = 27
x = 27/31
Absolutbelopp
Uppgift |
---|
Undersök superformeln
Den finns på sidan 83 i boken Spelprogrammering med Javascript. Du använder Javascript, Wolfram Alpha och Geogebra i din undersökning. Redovisa några snygga grafer i ppt. Ange dina parametrar och försök förklara varför kurvan ser ut som den gör. Ta också med en definition samt en förklaring av absolutbeloppet. Undersök hur superformeln uppför sig utan absolutbelopp. Kan du fundera ut en operation i miniräknaren eller datorn som ger samma resultat som absolutbeloppet utan att man använder just absolutbeloppet? |
Att bryta ut -1
Inför provet på fredag 7 december
Ni skapar en egen gemensam diagnos:
I detta google-dokument kan ni skapa era uppgifter: provfrågor
I detta google-dokument kan ni lägga lösningar till uppgifterna: Facit till provfrågorna
Här lägger vi upp de färdiga uppgifterna och lösningarna onsdag 5 december som ni får öva på till lektionen på torsdag 6 december.
Vi tittar sedan på lektionen vilka uppgifter som ni tycker är svårast och löser några tillsammans.
Utifrån era exempeluppgifter skapas ett prov med liknande uppgifter. Provet är på fredag 7 december.
Ni får sedan rätta varandras prov.
Efter det berättar ni vad vi behöver öva mer på i grupp
ytterligare några exempeluppgifter kommer under torsdag
Ni gör även individuella studieplaner för nästa vecka.
Sedan kommer vi att börja på nästa kapitel - Derivator. Vid behov kan vi återkomma till detta kapitel.
Lösningsförslag till prov Algebra
Uppgift |
---|
Skapa ett facit
Ni ska skapa ett facit med lösningsförslag till provet i Algebra. Ni får gärna sitta två och två och tillsammans diskutera lösningar till uppgifterna. Lösningarna ska vara strukturerade och utförliga så att alla kan förstå hur ni har löst uppgiften. Skriv era namn i början av ert lösningsförslag i Google-dokumentet.
|
När ni känner er klara med detta, fundera ut vilka delar som ni tycker varit viktigast i kapitlet och vilka delar måste man kunna i kapitlet för att klara kursen. Skriv ner och lämna in!
Nästa lektion ska vi titta på era prov och ni ska själva få avgöra hur bra ni tycker att det har gått och om det är någon del ni borde träna mer på.
Repetition av algebra efter provet
Här finns ett gäng övningar på Khan Academy som ni kan göra. Logga in med era användare så jag ser vad ni gjort. Titta på filmen där MIKAEL bondestam förenklar rationella uttryck.