Gränsvärden

Här kommer text om gränsvärden.

Upplägget.

Motivering.

Omgivningar.

Intervall

Om vi tänker oss alla tal mellan två tal a och b så kallas det ett intervall. Det finns intervall av tre typer. Öppna intervall, slutna intervall och halvöppna intervall (se figurer). Här gör man så att man ritar öppna cirklar när punkten inte ingår i intervallet och fyllda cirklar när det ingår. Intervallet [math]\displaystyle{ ]1 ,4[ }[/math] är alltså ett öppet intervall dvs 1<x<4. Det indikeras av att hakparenteserna inte sluter om.

På samma sätt är [math]\displaystyle{ [0.5 , 5] }[/math] slutet.[math]\displaystyle{ ( 0.5\le x\le5 ) }[/math] och de två sista intervallen halvöppna.

Alltså

Definition
Ett öppet intervall ]a,b[ består av alla tal x mellan a och b utom a och b ; a<x<b

Uppgift

Rita tallinjer och lägg in intervallen 2<x≤3 ; 4<x<6 ; 1≤x≤1.1 Du kan rita i Geogebra. Du kan också rita på eget papper eller trycka ut detta papper

Facit: (klicka expandera till höger)

Uppgift

Uppgift
lägg också in intervallet nedan på en ytterligare tallinje [math]\displaystyle{ \pi\leq x }[/math].

Oändlikhetsymbolen [math]\displaystyle{ \infty }[/math] kommer att förklaras mer senare.

Inre punkt i ett intervall

Om en punkt A finns inne i ett intervall kallas den inre punkt i till intervallet.

plats för figur

Definition
En punkt A som ligger ligger helt inne i ett intervall kallas inre punkt till intervallet.

Uppgift
Vilket eller vilka av talen [math]\displaystyle{ 1 ; 1.414 ; \sqrt{2} ; 3 ; \pi }[/math] är inre punkter till intervallen [math]\displaystyle{ ] 1.414 , \pi ] }[/math] [math]\displaystyle{ [ \sqrt{2} , \sqrt{10} ] }[/math]

Facit: (klicka expandera till höger)

Uppgift

1 [math]\displaystyle{ \sqrt{2}, 3 }[/math] därför att 1.414 ingår inte (öppet) och [math]\displaystyle{ \pi }[/math] är inte inre punkt! det är endast en (kant)punkt ett slutet intervall

2 3 och [math]\displaystyle{ \pi }[/math]

Omgivning

Definition
Om en punkt A är inre punkt till ett öppet intervall U kallas U en omgivning till A

Ofta kommer vi att använda symmetriska omgivningar till en punkt som [math]\displaystyle{ A-\epsilon\lt A\lt A+\epsilon }[/math]

där [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] är ett godtyckligt positivt tal > 0 (ofta litet) tal. Det kan också skrivas [math]\displaystyle{ ]A-\epsilon, A+\epsilon[ }[/math].

Uppgift
Uppgifter på omgivningar

Punkterade omgivningar

Ibland undantar man A från själva omgivningen till A då kallas det en punkterad.

Definition
De sammanslagna intervallen [math]\displaystyle{ P_-= \rm{A-a\lt x\lt A} }[/math] och [math]\displaystyle{ P_+=\rm{A\lt x\lt A+b} }[/math] kallas en punkterad omgivning P till A Det kan också skrivas så här: P är alla x som uppfyller [math]\displaystyle{ ]a,A[ och ]A,b[ }[/math] där a<A och b>A

plats för figur

Uppgift
uppgifter punkterade omgivningar

Vänster och höger omgivningar

Oegentliga gränsvärden

Gränsvärden.

Alternativa definitioner.

Facit till vissa uppgifter