Bestämda integraler: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 18 februari 2021 kl. 07.01

Sid 207-213 - Beräkna integraler

Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig hur du beräknar areor med hjälp av integraler. Dessutom kommer vi att visa et antal räkneregler för integraler.

Arean under en kurva

Sid 221-226 - Areaberäkning med hjälp av integraler

Nu ska vi visa på en användbar tillämpning av primitiva funktioner. Vi möter begreppet integraler och lär oss hur vi kan använda oss av integraler för areaberäkningar.

När man beräknar integralen av en funktion så motsvarar det att man beräknar arean mellan grafen och x-axeln.

GeoGebran visar hur arean under kurvan mellan x = 0 och x = 2 beräknats med hjälp av en integral.

Integralberäkningar

Definition

För en funktion f som är beroende av variabeln x och kontinuerlig på [a,b] beräknas integralen av f på följande vis:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) }[/math]

där F är en primitiv funktion till f.

I det vänstra ledet har vi först integraltecknet

∫

Talen a och b anger den undre respektive den övre gränsen för det område som vi är intresserade av (i vårt exempel är a=0 och b=2). Till höger om integraltecknet med dess gränser kommer den funktion som utgör områdets övre gräns. Sist i vänstra ledet kommer dx, som anger att areaberäkningen ska ske med avseende på förändring i x-led.

I det högra ledet anges differensen F(b)−F(a)

Detta är alltså differensen mellan värdet på den primitiva funktion F vid den övre gränsen (x=b) och den undre gränsen (x=a).

[redigera]

Lösta exempel

[redigera]

Uppgift från NP ht 2012 - A-nivå

En kunskapskontroll lämplig för diskussion innan lektionens avslutning.

Uppgift:

Facit: (klicka expandera till höger)

[redigera]

Definition

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int_a^b \! f(x)\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx + \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) + g(x)\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx - \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) - g(x)\,dx }[/math]

Fler användbara räknelagar

Vid integrering gäller samma linearitetsegenskaper som vid derivering. Utifrån denna definition kan följande egenskaper hos integraler härledas:

[math]\displaystyle{ \int a\cdot f(x)dx = a\cdot\int f(x)dx }[/math]

förutsatt att konstanten a inte är lika med noll;

[math]\displaystyle{ \int\left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx }[/math]

där f(x) och g(x) är oberoende funktioner.

Utifrån en geometrisk tolkning kan ytterligare egenskaper hos integraler påvisas:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^a f(x)dx = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx }[/math]

Dessutom påverkas inte integreringen av integrationsvariabeln:

[math]\displaystyle{ \int f(x)dx = \int f(t)dt }[/math]

Följande två satser är användbara vid analytisk beräkning av primitiva funktioner:

[math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C }[/math];

[math]\displaystyle{ \int f(x)\cdot f'(x)dx = \frac{f(x)^2}{2} + C }[/math].

Den senare kan sägas vara den omvända kedjeregeln och man ser enkelt att båda gäller genom att derivera högerledet.

Dessa regler, tillsammans med partialintegration och lämpliga variabelbyten, utgör grunden för att analytiskt bestämma primitiva funktioner.

[redigera]

Jämför med mekaniken, sträckan är arean under en vt-graf.

Begynnelsehastighet och förändring av hastigheten

Acceleration är lika med hastighetsökningen per sekund. Vid en konstant acceleration a, gäller då att:

v = v₀ + at

v₀ är hastigheten vid start och t är så klart tiden från start.

Exempel: Fru Gran tapper en blomkruka genom fönstret. Vilken hastighet har den 1,5 sekunder senare?

t = 1,5 s. a = g = 9,82 m/s².

v = at = 9,82 m/s² * 1,5 s = 14,7 m/s

Arean

Arean under en vt-graf är lika med sträckan. Tänk att medelhastigheten * tiden = sträckan.

v_m = (v_efter - v_före) / 2

Men sträckan är ju v_m * t och det kan man ju se som arean av cen triangel som bildas av grafen i vt-diagrammet.

naturvetenskap.org ger en beskrivning.

Animering av sträcka under vt-kurva

Khan om sträcka = area under vt-kurva

Sträckan

s = v₀t + at²/2

[redigera]

Geometriskt bevis

For a continuous function y = f(x) whose graph is plotted as a curve, each value of x has a corresponding area function A(x), representing the area beneath the curve between 0 and x. The function A(x) may not be known, but it is given that it represents the area under the curve.

The area under the curve between x and x + h could be computed by finding the area between 0 and x + h, then subtracting the area between 0 and x. In other words, the area of this “sliver” would be A(x + h) − A(x).

There is another way to estimate the area of this same sliver. As shown in the accompanying figure, h is multiplied by f(x) to find the area of a rectangle that is approximately the same size as this sliver. So:

[math]\displaystyle{ A(x+h)-A(x) \approx f(x)h }[/math]

In fact, this estimate becomes a perfect equality if we add the red portion of the "excess" area shown in the diagram. So:

[math]\displaystyle{ A(x+h)-A(x)=f(x)h+(\text{Red Excess}) }[/math]

Rearranging terms:

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{A(x+h)-A(x)}{h} - \frac{\text{Red Excess}}{h} }[/math].

As h approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero, which implies

[math]\displaystyle{ f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}. }[/math]

This implies f(x) = A′(x). That is, the derivative of the area function A(x) exists and is the original function f(x); so, the area function is simply an antiderivative of the original function. Computing the derivative of a function and “finding the area” under its curve are "opposite" operations. This is the crux of the Fundamental Theorem of Calculus. Wikipedia: Fundamental_theorem_of_calculus

Läs gärna vad Wikipedia skriver om Analysens_fundamentalsats även om det är på en hög nivå för det är så häftigt.

Det röda överskottet

För att göra beviset mer överskådligt ar vi lyft ut ett resonemang om det röda överskottet. Kan vi vara säkra på att det går mot noll då h går mot noll, vi dividerar ju med h?

As h approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero. This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle. More precisely,

[math]\displaystyle{ \left|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right| = \frac{|\text{Red Excess}|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2), }[/math]

where [math]\displaystyle{ x+h_1 }[/math] and [math]\displaystyle{ x+h_2 }[/math] are points where [math]\displaystyle{ f }[/math] reaches its maximum and its minimum, respectively, in the interval [math]\displaystyle{ [x, x + h] }[/math]. By the continuity of [math]\displaystyle{ f }[/math], the latter expression tends to zero as [math]\displaystyle{ h }[/math] does. Therefore, the left-hand side tends to zero as [math]\displaystyle{ h }[/math] does, which implies

[math]\displaystyle{ f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}. }[/math]

Anteckningar från lektionen

[redigera]

Förklaring med hjälp av Riemannsumman

Integral - Riemannsumma

Kan man tänka sig någon trevlig frågeställning som ingång till integralerna?

Börja med att visa Riemannsumman för att ta reda på arean under en graf.

GeoGebra om Riemannsumma in här

Övning Riemannsumma i GGb

Uppgift

laborera själv i Geogebra

Denna GGB ger dig möjlighet att flytta stapeln och att testa olika funktioner.

Du kan ändra på antalet staplar och se hur det påverkar beräkningen.

Här är GGB:n:

Vad lärde du dig av denna övning?

Uppg 2

Testa denna: http://www.geogebratube.org/student/m11330

Hur hanteras negativa areor?

Uppg 3

Man kan skapa Riemannsummor mellan två funktioner:

[redigera]

Primitiv funktion - integral - areafunktion, Åke Eriksson har gjort en omfattande applikation som ger dig ökad förståelse. Dessutom kan den användas som ett slags facit.

[redigera]

Wikipedia Integral

Läs om Beräkning av integraler

Helhet och teori

Bruno Kevius sida om Integraler

Mer om integraler

ProofWiki

Bok om Integraler, Chalmers

@@ Rad 183: / Rad 183: @@
 As ''h'' approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero. This is true because the area of the red portion of excess region is less than or equal to the area of the tiny black-bordered rectangle.  More precisely,
 :<math>\left|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right| = \frac{|\text{Red Excess}|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2),</math>
-where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where <math>f</math> reaches its maximum and its minimum, respectively, in  the interval </math>[x, x + h]</math>.
+where <math>x+h_1</math> and <math>x+h_2</math> are points where <math>f</math> reaches its maximum and its minimum, respectively, in  the interval <math>[x, x + h]</math>.
 By the continuity of <math>f</math>, the latter expression tends to zero as <math>h</math> does.  Therefore, the left-hand side tends to zero as <math>h</math> does, which implies
 :<math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}.</math>

Bestämda integraler: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 18 februari 2021 kl. 07.01

Arean under en kurva

Integralberäkningar

Lösta exempel

Uppgift från NP ht 2012 - A-nivå

Fler användbara räknelagar