Begreppet gränsvärde

Teori

Exempel

Aktivitet

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

Betrakta funktionen

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x^2} }[/math]

Vad blir gränsvärdet när vi väljer stora värden på x? Eller med andra ord: vad blir gränsvärdet för funktionen f då x går mot oändligheten?

Härhjälper det att ställa upp en värdetabell:

x	f(x)
10	0,01
100	0,0001
1000	0,000001

Vi ser här att ju större värden på variabeln vi väljer, desto närmare 0 blir funktionsvärdet.

I det här fallet kan vi skriva upp gränsvärdet på det här sättet:

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to ∞} f(x) = 0 }[/math]

Det här utläser vi som "limes av f(x) när x går mot oändligheten är 0".

Definition
Gränsväde i en punkt [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x) = b }[/math] utläses gränsvärdet för [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] är lika med [math]\displaystyle{ b }[/math] då [math]\displaystyle{ x }[/math] går mot [math]\displaystyle{ a }[/math]

Beräkning av gränsvärden

Exempel
Beräkna gränsvärdet algebraiskt Vad är gränsvärdet för [math]\displaystyle{ \frac{x^2 - 4}{x - 2} }[/math] om [math]\displaystyle{ x }[/math] går mot 2 ? [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 }[/math]

[redigera]

Exempel
Faktorisera och förkorta [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 + x}{x} \qquad }[/math] [math]\displaystyle{ uttrycket är inte definierat för x = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x(x + 1)}{x} }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x + 1 = 1 }[/math]

Exempel
Faktorisera med konjugat- eller kvadreringsreglerna [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 -16}{x-4} \qquad x \ne 4 }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 4} \dfrac{(x+4)(x-4)}{x-4} }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 4} x+4 = 4 + 4 = 8 }[/math]

Exempel

Gränsvärden när x går mot oändligheten hanteras annorlunda [math]\displaystyle{ \lim_{x \to infty} \dfrac{x -3x^2}{2x^2+x} }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2(\frac{1}{x} -3)}{x^2(2+ \frac{1}{x} )} }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{1}{x} -3}{2+ \frac{1}{x} } }[/math] Med x i nämnarna ser vi att de termerna går mot noll när x går mot oändligheten och vi kan skriva: [math]\displaystyle{ \dfrac{0 -3}{2+ 0 } = \dfrac{ -3}{2} = -\dfrac{3}{2} }[/math]

[redigera]

Numerisk beräkning av gränsvärden

Många gånger kan det löna sig att använda ett kalkylprogram om man vill se hur ett uttryck närmar sig gränsvärdet. Här syns ett exempel i Numbers:

[redigera]

Beräkna

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} 2h + 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + h}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 -9}{x-3} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to \infty} 4 + \frac{5}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{h^3-3h^2x+4hx}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{9}{2+10^x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} 99+0.99^x }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{x-4x^2}{3x^2+x} }[/math]

[redigera]

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Beräkning av gränsvärden. 7:17 min. Åke Dahllöfk, YT-licens

Fördjupning

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Siri kan beräkna gränsvärden

Rita grafen för funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x }[/math] och uppskatta gränsvärdet för [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f(x) }[/math]