Ekvationssystem Ma2c

Teori

Exempel

Lösningar

Lösningar tre obekanta

Uppgifter

Python

Aktivitet

Lär mer

[redigera]

Ekvation

En ekvation består av minst en obekant, ett likhetstecken, vänster led och höger led. Om det finns två obekanta behövs två ekvationer för att det ska gå att ta fram en lösning. Det kallas ekvationssystem.

Två ekvationer med två variabler = Ekvationssystem

Vad innebär det att två linjer skär varandra? Jo de har samma x-värden och y-värden.

Nedan och till höger ser du ett ekvationssystem:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} & ~~~ x + 5y~ {{=}} 20 \quad (1) \\ & - x + y~ {{=}} - 2 \quad (2) \end{cases} }[/math]

Här har vi två ekvationer. Det är ekvationer med x och y. Var och en är en ekvation för en rät linje. De har skrivits på en form där variablerna (x och y) står till vänster och numeriska värdena (siffrorna) till höger.

Ekvationerna har döpts med ett nyummer som skrivs inom parentes, (1) och (2). Vi döper ekvationerna för att kunna beskriva hur vi jobbar med dem.

Det kallas för ett ekvationssytem: Wikipedia skriver om Ekvationssystem

Man kan lösa ekvationssystem och få fram vilken punkt som gäller för båda ekvationerna. man kan lösa detta algebraiskt eller grafiskt.

Ersättningsmetoden - Substitutionsmetoden

Ett annat namn för ersättningsmetoden är substitutionsmetoden.

Substitutionsmetoden fungerar så att om man har en variabel ensam i VL så kan man ta det som finns i HL och sätta in i den andra ekvationen. Om vi exempelvis har y fritt så tar vi det y är lika med ochersätter y med det i den andra ekvationen.

Additionsmetoden

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Additionsmetoden kan användas för att lösa ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta variabler x och y. Man måste då eliminera en av de obekanta variaberna genom att multiplicera ekvationerna med lämpliga tal så att antingen x eller y försvinner om man adderar ekvationerna.

Additionsmetodden bygger på att två ekvationer kan adderas så att [math]\displaystyle{ VL_1+ VL_2 = HL_1 + HL_2 }[/math]

Vad kan man göra med två ekvationer?

Ekvationer kan manipuleras på olika sätt.

• Addera sammma term på båda sidorna.
• Addera en negativ term = subtraktion.
• Multiplicera med ett tal.
• Multiplicera med en invers = division.
• Multiplicera med ett negativt tal för att byta tecken i en ekvation.
• Dessutom: Man kan addera två ekvationer!

Fråga?

Kan man addera så att en variabel försvinner?

Addera två ekvationer så att x går bort. Ordna så att y är fritt. Vad innebär det för y? En punkt med x y som satisfierar båda originallektionerna.

Test: Rita båda ekvationerna i Ggb.

Ekvationssystem som saknar lösning

Ekvationssytemets lösning är ju skärningspunkten mellan två grafer. Om linjerna är parallella saknas det lösning. Du ser det algebraiskt genom att dina ekvationer (funktioner) har samma k-värde.

I specialfallet med samma k-värde och samma m-värde har ekvationssystemet oändligt många lösningar.

Ekvationssystem med tre obekanta

Ekvationssystem med tre obekanta och tre ekvationer löses genom att reducera det till ett ekvationssystem med två obekanta. Använd additionsmetoden med en av ekvationerna (exempelvis den första) för att ta bort en variabel (förslagsvis z) ur de två andra. Dessa två bildar ett nytt ekvationssystem som du kan lösa på vanligt sätt.

Ibland stöter du på enklare ekvationssytem med tre obekanta där du ser enklare vägar att lösa dem men så är inte alltid fallet.

Självfallet kan du använda substitutionsmetoden för att reducera ner ekvationssystemet till två obekanta men det leder ofta till krångligare beräkningar när det gäller skoluppgifter.

[redigera]

Två ekvationer med två variabler = Ekvationssystem

Exempel

Ekvationssystem Bestäm skärningspunkterna för linjerna [math]\displaystyle{ x + y {{=}} 1\, }[/math] och [math]\displaystyle{ x - y {{=}} 1 \, }[/math], med andra ord, sök en lösning till ekvationssystemet [math]\displaystyle{ \begin{cases} &x + y {{=}} 1 \quad (1)\\ &x - y {{=}} 1 \quad (2) \end{cases} }[/math] Första steget är att reducera de två ekvationerna med de två obekanta till en ekvation som endast innehåller en obekant. Detta kan göras genom att skriva om ekvation (2) till [math]\displaystyle{ y = x - 1.\, }[/math] Genom att sätta in detta värde på y i ekvation (1) övergår ekvation (1) till [math]\displaystyle{ x + (x - 1) = 1\, }[/math] Denna ekvation har lösningen [math]\displaystyle{ x = 1. }[/math] Då [math]\displaystyle{ y = x-1, }[/math] följer att [math]\displaystyle{ y = 0. }[/math] Det finns därför bara en skärningspunkt för de två linjerna (1) och (2): den punkt vars x-koordinat är x = 1 och vars y-koordinat är y = 0.

Substitutionsmetoden

Media: Ekvationssystem2 substi.pdf (Ladda gärna ner och öppna i Acrobat Reader).

Media: Ekvationssystem2_substiPP2.pptx

Sätt y lika

Exempel

Ersättningsmetoden [math]\displaystyle{ \begin{cases} & x + 5y = 20, \quad (1)\\ & -x +y = − 2 \quad (2) \end{cases} }[/math] Om y-värdena är lika i skärningspunkten kan vi göra lika dant algebraiskt: [math]\displaystyle{ \begin{cases} & 5y = 20-x, \quad (1)\\ & y = x − 2 \quad (2) \end{cases} }[/math] eller [math]\displaystyle{ \begin{cases} & y = 4- \frac{x}{5}, \quad (1)\\ & y = x − 2 \quad (2) \end{cases} }[/math] det betyder att vi kan sätta: [math]\displaystyle{ 4- \frac{x}{5} = x − 2 }[/math] Nu kan vi lösa ut x genom att samla termerna: [math]\displaystyle{ \frac{6x}{5} = 6 }[/math] [math]\displaystyle{ x= 5 }[/math] Sätt in [math]\displaystyle{ x = 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ (1) }[/math] ger [math]\displaystyle{ y =3 }[/math]

Additionsmetoden

Exempel

Additionsmetoden [math]\displaystyle{ \begin{cases} &x + y = 5, \quad (1)\\ &2x − 3y = − 5 \quad (2) \end{cases} }[/math] Om man vill eliminera x kan man multiplicera den övre ekvationen med [math]\displaystyle{ -2 }[/math].Det ger då att [math]\displaystyle{ − 2x − 2y = − 10 }[/math] Om man sedan adderar vänsterleden och högerleden får man att [math]\displaystyle{ − 2x − 2y + 2x − 3y = − 10 − 5 }[/math] Det ger att [math]\displaystyle{ − 5y = − 15. }[/math] Om man löser ut y får man att [math]\displaystyle{ y = 3 }[/math]. Man kan sedan sätta in detta y i en av de ursprungliga ekvationerna. Om man väljer den första får man att [math]\displaystyle{ x + 3 = 5 }[/math] och det ger att [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math]. Lösningen till ekvationssystemet blir [math]\displaystyle{ x = 2,y = 3 }[/math]

Källa: Wikipedia

Problemlösning med ekvationssystem

Exempel
Textproblem som blir ekvationssystem Summan av två tal är 38 och differensen mellan talen är 14. Vilka är talen? Lösning: [math]\displaystyle{ \begin{cases} & x + y {{=}} 38 \quad (1)\\ & x - y {{=}} 14 \quad (2) \end{cases} }[/math] Addera (1) och (2) ger: [math]\displaystyle{ 2x = 52 }[/math] [math]\displaystyle{ x = 26 }[/math] [math]\displaystyle{ y = 12 }[/math]

[redigera]

Klicka på länken för att se lektionsanteckningar.

Media:EkvationssystemGemensammaUppgifter.pdf

=== Lösningar till några uppgifter från Exponentboken ===

Den första uppgiften nedan löstes med framgång. I den andra uppgiften användes först additionsmetoden och därefter användes substitutionsmetoden med framgång. Båda metoderna fungerar men de kan leda till olika krångliga lösningar.

[redigera]

Media:Repetition_och_genomgång_av_prov.pdf

[redigera]

Grafisk lösning av ekvationssystem

Uppgift
Använd GeoGebra för att skapa en grafisk lösning till ekvationssystemet: [math]\displaystyle{ \begin{cases} & 2x + 7y~ {{=}} 22 \quad \\ & - x + y~ {{=}} - 8 \quad \end{cases} }[/math]

Lös med substitutionsmetoden

Lös ekvationssystemet:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} & y=6x \\ & y=x+13 \quad \end{cases} }[/math]

Lös ekvationssystemet:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} & y = 2x - 8 \\ & y = 10 - x \end{cases} }[/math]

Ekvationssystemet

[math]\displaystyle{ \begin{cases} & y = 2x - 3 \\ & y = 5 - 7x \end{cases} }[/math]

har lösningen y = -11/9 men vilket värde har x?

Uppgift

Om 6x + 7 y = 2a så har uttrycket 6x + 7 y - 9 värdet 11. Bestäm a.

Ekvationssystemet

[math]\displaystyle{ \begin{cases} & b x + y = a + 3 \\ & x - a y = b \end{cases} }[/math]

har lösningen x = 7 och y = 2. Vilka värden har a och b.

Additionsmetoden

Lös ekvationssystemet

[math]\displaystyle{ \begin{cases} & 2x - y = -9 \\ & 5x + 2 y = 0 \end{cases} }[/math]

Klimatet och maten

Uppgift

Det var en gång 2 stycken skolklasser som skulle äta mellanmål på en hamburgerrestaurang. De får endast välja på två olika alternativ: pommes eller kycklingburgare eftersom eleverna är flexitarianer. Först får första klassen beställa mat. De beställer 21 pommes och 8 kycklingburgare. Alla har samma storlek. Sedan beställer den andra klassen 14 pommes och 19 kycklingburgare. Lärarna får 2 kvitton på vilka det står menyns totala utsläpp av koldioxidekvivalenter. Klass 1 släpper ut 3.7 kg CO2ekv Klass 2 släpper ut 5.2 kg CO2ekv Hur mycket CO2ekv släpper en pommes respektive en kycklingburgare ut?

Tolka figuren och lös algebraiskt

Lös ekvationssystemet du ser i bilden till höger algebraiskt.

Lös med valfri metod

[math]\displaystyle{ \begin{cases} & xy+x-4y=11 \\ & xy-x-4y=4 \end{cases} }[/math]

Jämför de olika metoderna och öva dig på typtal

När du gör denna övning så ser du skillnaderna (och likheterna): Typtal Ekvationssystem

[redigera]

# Här ska du skriv vad programmet gör

# Matematiklärarna tackar Victor och Sven för grovjobbet till detta program
print("Detta program är skrivet av Victor Axberg och Sven Kvarngren\n")

def getValues():
    # Tala om vad händer 9 raderna nedan
    print("Ekvation 1:\nAy + Bx + C = 0\n")
    A = float(input("Skriv in A-värdet:\n"))
    B = float(input("Skriv in B-värdet:\n"))
    C = float(input("Skriv in C-värdet:\n"))

    print("\nEkvation 2:\nDy + Ex + F = 0\n")
    D = float(input("Skriv in D-värdet:\n"))
    E = float(input("Skriv in E-värdet:\n"))
    F = float(input("Skriv in F-värdet:\n"))

    # Förklara de 4 raderna nedan
    k1 = -B/A
    m1 = -C/A
    k2 = -E/D
    m2 = -F/D

    # Kör funktionen som heter findIntersection med variablerna k1, m1, k2 och m2
    findIntersection(k1,m1,k2,m2)

def findIntersection(k1,m1,k2,m2):
    # Förklara vad funktionen findIntersection gör
    # Förklara även vilken matematisk metod för att lösa ekvationssystem som används
    x = (m2-m1)/(k1-k2)
    y = k1*x + m1
    print("skärningen sker vid: ("+str(x)+", "+str(y)+")")
# Kör funktionen som heter getValues
getValues()

[redigera]

Välj metod

Uppgift
Reflektera och välj Vilken metod tycker du är bäst, additionsmetoden eller ersättningsmetoden?

Använd glidare i geoGebra

I denna uppgift kan du använda glidarna för att lösa tre uppgifter.

Uppgift
Glidare ger dig ett dynamiskt verktyg för att lösa ekvationssystem Lös de tre uppgifterna som finns på denna sida i GeoGebraTube.

Kommentar: Vid testning verkar det saknas glidare för högerledet i ekvationerna.

Leo och Eva fyller år på samma dag

Samma dag som Eva fyllde 40 år födde hon sin son Leo. Om sju år är Leo en tredjedel så gammal som Eva. Leo faktoriserar sin mormor Ingeborgs ålder och kommer fram till att hon är 2*2*(hans ålder + 10).

Hur gammal är Ingeborg?

Lista: (klicka expandera till höger)

[math]\displaystyle{ E=L+40 }[/math]

[math]\displaystyle{ 3(L+7)= E+7 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot (L+10) =I }[/math]

[math]\displaystyle{ 3L+21=E+7 }[/math]

[math]\displaystyle{ 3L+14=E }[/math]

[math]\displaystyle{ 3L+14=L+40 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2L=26 }[/math]

[math]\displaystyle{ L=13 }[/math]

[math]\displaystyle{ I= 4(13+10)=4 \cdot 23=92 }[/math]

Svar: Ingeborg är 92 år.

Hur många lösningar har ett ekvationssystem?

Det finns en GeoGebra med uppgifter,

[redigera]

Uppgift
Gör gärna denna diagnos på ekvationssystem Veckodiagnos 18

Blandade uppgifter

• Ekvationssystem problemlösning
• Papper som ska delas ut: Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri Nivå: rätt svårt

Ett gammalt prov i algebra och geometri

Prov kap 2 Geometri, räta linjen och ekvationssystem

Ekvationssystem i GeoGebra

Pröva gärna att lösa ekvationssystem i GeoGebra.

Använd kommandot Solve och prova gärna 3D-modulen för treekvationerssystem.

Exempel:

Solve({x = 4 x + y , y + x = 2}, {x, y}) ger ( x = -1, y = 3 ), som lösnningen till ekvationssystemet med x = 4x + y och y + x = 2

Ovanstående fungerar (fungerade i alla fall 2019) i graphic mode men om du går in på Classic CAS så kan du lösa ekvationssystem med två ekvationer. https://www.geogebra.org/classic/cas

Ekvationslösning med CAS kan se ut så här:

Evationssystem och klimat (vädersystem)

När SMHI gör väderprognoser använder de stora ekvationssystem med differentialekvationer. Det är komplicerad matematik men en intressant tillämpning i verkligheten av den matematik vi övar på nu.

SMHI

Exit ticket