Analytisk geometri: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 25 mars 2020 kl. 23.00

Mål för undervisningen Räta linjen

Centralt innehåll:

Begreppet kurva, räta linjens och parabelns ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.

Detta avsnitt kommer att behandla avståndsformeln och mittpunktsformeln.

Den analytiska geometrin är en gren av geometrin där algebraiska metoder används för att lösa geometriska problem. Vi ska lära oss en tillämpning av Pythagoras sats som kallas avståndsformeln. Den används för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Därefter lär vi oss en formel för att beräkna koordinaerna för en punkt mitt emellan två andra punkter.

Avståndsformeln och mittpunktsformeln

Avståndsformeln

Definition

Avståndsformeln

Avståndsformeln används för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Den bygger på Pythagoras sats.

Avståndet d mellan två punkter i ett koordinatsystem, (x1, y1) och (x2, y2) kan skrivas

[math]\displaystyle{ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} }[/math]

"P1" är punkten 1, "P2" är punkten 2, och "M" visar var exakt var mitten av punkterna P1 och P2 är. Bilden är tagen från Wikipedia.

Definition

Mittpunktsformeln

Mittpunktsformeln är en mattematisk ekvation.

Två punkter P1 och P2 som kan ligga precis var som helst i ett kordinatsystem, med hjälp av mittpunktsformeln bestämma punkten mitt emellan Punkt1 och Punkt2 som har benämningen M.

Punkterna [math]\displaystyle{ (x_1,y_1) }[/math] och [math]\displaystyle{ (x_2,y_2) }[/math]

har mittpunkten [math]\displaystyle{ (x_M,y_M)= (\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}) }[/math]

Förklaras i videon

[redigera]

Exempel

Exempel på problem - Mittpunktsformeln

Du har två punkter (1, -2) och (-3, 5), hitta mittpunkten av de två punkterna med hjälp av mittpunktsformeln.

Lösning

[math]\displaystyle{ (x_m,y_m) = (\frac{1+(-3)}{2}), \frac{-2+5}{2}) = (-1, \frac{3}{2}) }[/math]

[redigera]

Räta linjers egenskaper

Uppgift
Öppen uppgift Rita en kvadrat med fyra räta linjer.

Uppgiften ovan är öppen kan lösas på flera olika sätt. Det viktiga är att redovisa sin metod och redovisningen generalisera lösningen och införa flera olika representationer.

Avståndsformeln och mittpunktsformeln

Om du behöver repetera och göra uppgifter så går det bra.

Uppgift

Skriv ett snyggt bevis

$L a T e X$ .

Om ni är fyra i en grupp kan ni skapa beviset för vinkelräta linjer genom att två visat från vänster till höger och de andra två från höger till vänster. Lämplig uppdelning inom ett par är att en gör en GeoGebra och den andre skriver beviset i [math]\displaystyle{ LaTeX }[/math]