Potensfunktioner

Teori

Exempel

Aktivitet

Python

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Mikael Bondestam om potensfunktionen, 2.47 min.

Potensfunktioner med a = 1, 3 och 5

En potensfunktion är en funktion av typen [math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math], där a är en konstant.

Några exempel på potensfunktioner:

• [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = x^{3,5} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = x = x^{1} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} = x^{0,5} }[/math]

Det förekommer att även funktioner av typen [math]\displaystyle{ f(x) = k \cdot x^a }[/math] kallas potensfunktioner.

Några egenskaper för potensfunktioner:

• Om exponenten a är ett jämnt tal är funktionens värde noll eller positivt (förutsatt att definitionsmängden är reell). Detta följer av att även negativa x-värden blir positiva när de kvadreras.
• Om exponenten a är positiv är f(0) = 0.
• Om exponenten a är negativ divergerar funktionen vid x = 0, det vill säga att funktionens värde blir obegränsat stort/litet när x närmar sig noll.
• Om exponenten a inte är ett heltal finns inga reella värden för potensfunktionen då x är mindre än noll och man brukar därför vanligtvis använda definitionsmängden x ≥ 0 i dessa lägen.

Definition
[math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math] är en potensfunktion

Texten från Wikipedia

[redigera]

Exempel
Grafisk ekvationslösning Lös ekvationen [math]\displaystyle{ x^2 - 3 = 6 }[/math] grafiskt Lösning består i att rita funktionerna [math]\displaystyle{ y = x^2 - 3 }[/math] och [math]\displaystyle{ y = 6 }[/math] och finna skärningspunkterna. Lösningarna är [math]\displaystyle{ x = \pm 3 }[/math]

[redigera]

Rita funktioner i GeoGebra

Uppgift
Undersök några potensfunktioner i GeoGebra. Testa funktionerna från teoriavsnittet: [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = x^{3,5} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = x = x^{1} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} = x^{0,5} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = - x^2 + 3x - 2 }[/math]

Lös ett klassiskt fysikproblem med GeoGebra

Coconut tree in Kannur Beach, India

Uppgift

Rörelseenergi Rörelseenergin, [math]\displaystyle{ E }[/math], hos ett föremål ökar med kvadraten på hastigheten enligt formeln: [math]\displaystyle{ E_r\,=\,m\frac{v^2}{2} }[/math] där [math]\displaystyle{ m }[/math] är massan och [math]\displaystyle{ v }[/math] hastigheten. Använd GeoGebra för att ta reda på vid vilken hastighet ett föremål som väger 15 kg har rörelseenergin 2500 J. Lägg in en linje för [math]\displaystyle{ y = 2500 }[/math] så ser du skärningspunkten. Lägg nu in en glidare för m och undersök vilken hastighet som ger energin 2500 J om massan är 1 kg, 5 kg respektive 55 kg. Lägesenergi (Fördjupning) Lägesenergin ges av [math]\displaystyle{ E_l\,=\,m\,g\,h }[/math] där tyngdaccelerationen [math]\displaystyle{ g = 9.82 }[/math] och [math]\displaystyle{ h }[/math] är höjden. Använd GeoGebra: Vilken hastighet har en kokosnöt just innan den når marken om den fallit från en 30 m hög palm? Använd algebra: Sätt energierna lika och skriv om formeln så att du löser ut [math]\displaystyle{ v }[/math]. Beräkna sedan hastigheten. Plotta din nya funktion. Vilka värden på [math]\displaystyle{ a }[/math] i funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math] har du begagnat dig av i denna uppgift?

[redigera]

Gissa talet

Uppgift
Gissa ett tal Kör programmet tillsammans med en kompis. Kör det flera gånger. Vilken strategi ger minst antal gissningar? Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin? Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?

Python-koden

# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att gissa det tal som din kamrat matar in. Du kan alltid avbryta programmet genom att skriva 'exit'.")

# Ange ett tal
number = input("Ange ett tal mellan 1 - 100. ")

# använd heltal
number = int(number)

# räknare
guess = 0
count = 0

# räknare
while guess != number:

# gissa talet
    guess = input ("Gissa talet som din kamrat har angett: ")
    if guess == "exit":
        break
# räkna gissningar
    guess = int(guess)
    count += 1
       
# jämför gissning med tal
    if guess < number:
        print("Talet du angav ar mindre an det sokta talet.")
    elif guess > number:
        print("Talet du angav ar storre an det sokta talet.")
    else:
        print("Grattis! Du har gissat talet som din kamrat har angett.")
        print("Talet är:",number,)        
        print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")
        
# visar resultatet så länge vi vill 
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

[redigera]

Dagens Canvas-uppgifter heter: Öva potensfunktioner mm

[redigera]

Uppgift
Vad visar GeoGebran ovan? Vad finns det för likheter och skillnader mellan kurvorna och vad beror dessa på? Vad gör glidaren? Ange minst två sakr och förklara matematiskt.

Exit ticket

Quiz i canvas: Hur går det?