Kontinuerliga och diskreta funktioner

Teori

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

En graf över funktionen y = floor(x). Den här funktionen är varken kontinuerlig eller diskret.

En diskret funktion är en funktion vars definitionsmängd är diskret, exempelvis heltal.

Notera att det är definitionsmängden som avgör om en funktion är diskret, medan det är värdemängden som avgör om en funktion är kontinuerlig. De två egenskaperna är alltså inte varandras motsatser. Funktionen f(x) = floor(x) där x ∈ ℝ, exempelvis, är varken kontinuerlig eller diskret – eftersom den gör hopp i funktionsvärdet (är inte kontinuerlig) och har en sammanhängande definitionsmängd (är inte diskret). (Se bild.)

Kontinuerliga funktioner

Att en funktion är kontinuerlig betyder att den är sammanhängande.

Det är värdemängden som avgör om en funktion är kontinuerlig. En funktion en som inte gör några plötsliga hopp och inte har några avbrott är kontinuerlig.

Inom matematiken är en storhet som är kontinuerlig en storhet som är sådan att man alltid kan finna en annan storhet som skiljer sig från den förra med en kvantitet som är mindre än någon ändlig storhet.

En funktion definierad på en delmängd av de reella talen är kontinuerlig i en punkt x = x₀ i (det inre av) definitionsmängden om den där identisk med sitt gränsvärde, det vill säga om

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) }[/math]

Diskontinuerliga funktioner

Funktionen i figuren har en så kallad hoppdiskontinuitet. Den är således inte kontinuerlig.

Diskontinuerliga funktioner har avbrott.

Diskreta funktioner

Exempel på en diskret funktion

En diskret funktion är en funktion vars definitionsmängd är diskret, exempelvis heltal.

Ett exempel på en diskret funktion är f(x) = 1/2ⁿ där n ∈ ℕ, som ger oss talserien 1, 1/2, 1/4, 1/8…

[redigera]

Är denna funktion kontinuerlig?

Är funktionen diskret?

[redigera]

Two random variables were talking in a bar. They thought they were being discrete but I heard their chatter continuously.

Source: armchairdetective / reddit

Läs gärna på svenska wikipedia

Läs gärna vad Wikipedia skriver om Kontinuerlig_funktion

Läs gärna vad Wikipedia skriver om Diskontinuitet skriver i en relativt teoretisk förklaring

Läs vad Wikipedia skriver om Diskret_funktion.

Fördjupning

Hur tolkar du denna GGB?