Begreppet gränsvärde

Teori

betrakta funktionen

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x^2} }[/math]

Vad blir gränsvärdet när vi väljer stora värden på x? Eller med andra ord: vad blir gränsvärdet för funktionen f då x går mot oändligheten?

Härhjälper det att ställa upp en värdetabell:

x	f(x)
10	0,01
100	0,0001
100	0,000001

Vi ser här att ju större värden på variabeln vi väljer, desto närmare 0 blir funktionsvärdet.

I det här fallet kan vi skriva upp gränsvärdet på det här sättet:

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to ∞} f(x) = 0 }[/math]

Det här utläser vi som "limes av f(x) när x går mot oändligheten är 0".

Definition
Gränsväde i en punkt [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x) = b }[/math] utläses gränsvärdet för [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] är lika med [math]\displaystyle{ b }[/math] då [math]\displaystyle{ x }[/math] går mot [math]\displaystyle{ a }[/math]

Beräkning av gränsvärden

Exempel
Beräkna gränsvärdet algebraiskt Vad är gränsvärdet för [math]\displaystyle{ \frac{x^2 - 4}{x - 2} }[/math] om [math]\displaystyle{ x }[/math] går mot 2 ? [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 }[/math]

Numerisk beräkning av gränsvärden

Många gånger kan det löna sig att använda ett kalkylprogram om man vill se hur ett uttryck närmar sig gränsvärdet. Här syns ett exempel i Numbers:

Lär mer

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Beräkning av gränsvärden. 7:17 min. Åke Dahllöfk, YT-licens

Fördjupning

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Siri kan beräkna gränsvärden

Rita grafen för funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x }[/math] och uppskatta gränsvärdet för [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f(x) }[/math]