Begreppet gränsvärde: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 6 september 2018 kl. 11.47

Teori

betrakta funktionen

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x^2} }[/math]

Vad blir gränsvärdet när vi väljer stora värden på x? Eller med andra ord: vad blir gränsvärdet för funktionen f då x går mot oändligheten?

Härhjälper det att ställa upp en värdetabell:

x	f(x)
10	0,01
100	0,0001
100	0,000001

Vi ser här att ju större värden på variabeln vi väljer, desto närmare 0 blir funktionsvärdet.

I det här fallet kan vi skriva upp gränsvärdet på det här sättet:

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to ∞} f(x) = 0 }[/math]

Det här utläser vi som "limes av f(x) när x går mot oändligheten är 0".

Definition
Gränsväde i en punkt [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x) = b }[/math] utläses gränsvärdet för [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] är lika med [math]\displaystyle{ b }[/math] då [math]\displaystyle{ x }[/math] går mot [math]\displaystyle{ a }[/math]

Beräkning av gränsvärden

Exempel

Beräkna gränsvärdet algebraiskt

Vad är gränsvärdet för [math]\displaystyle{ \frac{x^2 - 4}{x - 2} }[/math] om [math]\displaystyle{ x }[/math] går mot 2 ?

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 }[/math]

Numerisk beräkning av gränsvärden

Många gånger kan det löna sig att använda ett kalkylprogram om man vill se hur ett uttryck närmar sig gränsvärdet. Här syns ett exempel i Numbers:

Aktiviteter

Uppgifter

Lär mer

Läs om Gränsvärde

Wikipedia Gränsvärde

Beräkning av gränsvärden. Frökenfysik, YT-licens

Beräkning av gränsvärden. 7:17 min. Åke Dahllöfk, YT-licens

Fördjupning

Siri kan beräkna gränsvärden

Rita grafen för funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x }[/math] och uppskatta gränsvärdet för [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f(x) }[/math]

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 == Teori ==
+betrakta funktionen
+: <math> f(x) = \frac{1}{x^2} </math>
+Vad blir gränsvärdet när vi väljer stora värden på x? Eller med andra ord: vad blir gränsvärdet för funktionen f då x går mot oändligheten?
+Härhjälper det att ställa upp en värdetabell:
+{| class="wikitable"
+|-
+! x!! f(x)
+|-
+| 10|| 0,01
+|-
+| 100|| 0,0001
+|-
+| 100|| 0,000001
+|}
+Vi ser här att ju större värden på variabeln vi väljer, desto närmare 0 blir funktionsvärdet.
+I det här fallet kan vi skriva upp gränsvärdet på det här sättet:
+: <math> \lim_{x \to ∞} f(x) = 0 </math>
+Det här utläser vi som "limes av f(x) när x går mot oändligheten är 0".
 {{defruta | '''Gränsväde i en punkt'''

Begreppet gränsvärde: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 6 september 2018 kl. 11.47

Innehåll