Grafer

Teori

Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionen

Definition

Vertex är kurvans vändpunkt. Vertex kan vara funktionens maximala värde eller dess minsta värde (beroende på tecknet framför x^2-termen). Extrempunkter är ett samlingsnamn för min- eller maxvärdena i en funktion. Nollställena är punkterna där grafen skär x-axeln. Nollställenas x-värden anger lösningar till ekvationen f(x) = 0. Ett positivt tecken före x2-termen betyder att funktionen har en minimipunkt (kallas glad gubbe). Ett negativt tecken före x2-termen betyder maximipunkt. Symmetrilinjen är vertikal och går genom vertex. x-värdet motsvara första termen i lösningen med pq-formeln, -p/2.

Kvadratiska modeller

Definition
Square root Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form: y(x) = ax2 + bx + c c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

Aktivitet

Glad ledsen gubbe och special points

Uppgift

Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ f(x) {{=}} a x^2 }[/math] i GeoGebra. Då skapas en glidare från -5 till 5. Undersök hur grafen förändras för positiva och negativa värden på glidare a. Ändra funktionen till [math]\displaystyle{ f(x) {{=}} a x^2 + 2 x -3 }[/math]. Dubbelklicka i fältet just till höger om funktionen i algebrafönstret. Det kommer då upp en blå skylt med frågan Specialpunkter. Klicka på den och du ser punkter för vertex, nollställena och där grafen skär y-axeln. Reflektera över punkternas betydelse.

Hur ritar man en parabel om man vet funktionen?

Gör så här

Man kan rita en graf utifrån värdetabell enligt instruktionen, nedan.

Du kan skapa en värdetabell om du känner till funktionen:

1. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn.
2. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn.

Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex(min- eller maxpunkten).

Uppgift

Starta GeoGebra Classic Välj Spreadsheet Skriv in x- och y-vären som i figuren nedan. Klicka och dra för att markera alla talpar i värdetabellen. Använd verktyget skapa lista av punkter. Du ser nu fem punkter i grafikfönstret. I algebrafönstrets inmatningsfält skriver du polynom och väljer varianten med lista. Skriv in namnet på din lista, exempelvis L_1. Eventuellt behöver du välja att algebrafönstret ska visa definition och värde. Du ser nu vilken funktion som du ritat till dina punkter. Testa gärna att ändra något y-värde i värdetabellen så att anpassningen blir ett polynom av högre grad.

Lär mer

Fördjupning

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om kägelsnitt.