Tillämpningar på exponentiell förändring: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
Rad 15: | Rad 15: | ||
=== decibel === | === decibel === | ||
dB-skalan är logaritmisk på så sätt att en ökning med 10 dB (1 Bell) innebär en ökning av effekten med en faktor 10. 0 dB innebär att värdet motsvarar referensnivån, 10 dB innebär att effekten är 10 gånger högre än referensnivån, 20 dB innebär att effekten är 100 gånger högre än referensnivån och 30 dB innebär att effekten är 1000 gånger högre än referensnivån. Omvänt så betyder −10 dB att effekten är en tiondel av referensnivån och −20 dB att effekten är en hundradel av referensnivån. | |||
<math> | <math> |
Versionen från 14 februari 2018 kl. 23.39
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Activity_decay.svg/langsv-300px-Activity_decay.svg.png)
Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.
Ekonomiska modeller
Uppgifter
Uppgift |
---|
|
decibel
dB-skalan är logaritmisk på så sätt att en ökning med 10 dB (1 Bell) innebär en ökning av effekten med en faktor 10. 0 dB innebär att värdet motsvarar referensnivån, 10 dB innebär att effekten är 10 gånger högre än referensnivån, 20 dB innebär att effekten är 100 gånger högre än referensnivån och 30 dB innebär att effekten är 1000 gånger högre än referensnivån. Omvänt så betyder −10 dB att effekten är en tiondel av referensnivån och −20 dB att effekten är en hundradel av referensnivån.
[math]\displaystyle{ L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \, }[/math]
Läs: Wikipedia om Decibel .
Uppgift |
---|
Hur stor är effekten [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] om ljudet uppgår till 70 dB? Om [math]\displaystyle{ P_0 = 10^{-12} }[/math] |
Halveringstid
Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.
Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.
Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln
- [math]\displaystyle{ N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}} }[/math],
där [math]\displaystyle{ T_{1/2} }[/math] betecknar halveringstiden.
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se
Kol-14-metoden
C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].
Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (14C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen 12C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen 14C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se
Fysikalisk bakgrund
Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är 12C och 13C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |14C som genom betasönderfall övergår till kväve. 14C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.
Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras 14C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
- [math]\displaystyle{ n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p }[/math]
som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N). 14C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade 14C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO2). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt 14C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen 14C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
- [math]\displaystyle{ \mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e }[/math]
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se
Uppgift kol 14-metoden
Uppgift |
---|
Det kol som finns i livet på jorden består av två stabila kärnor (isotoper) med masstalen 12 och 13 (kol 12 och kol 13). Men så finns där en liten mängd radioaktivt kol 14. Det har vi fått i oss från maten, och det kolet kommer ytterst från gröna växter, som i sin tur har tagit upp det från luftens kolsyra. Högt uppe i atmosfären kommer det in atomkärnor från den kosmiska strålningen med mycket höga energier. De kolliderar med kärnor i luftens kväve och syre. I en del av dessa reaktioner bildas kol 14, som där uppe bildar koldioxid. Den blandas med den icke radioaktiva koldioxiden. Så småningom kommer den ner till jordytan och tas upp av gröna växter. När vi hugger ner ett träd, dör trädet och slutar ta upp koldioxid. Kol 14 sönderfaller hela tiden, och antalet kol 14-kärnor blir mindre och mindre. Genom att ta reda på hur många kol 14-kärnor där finns, kan man räkna ut hur länge det är sedan trädet fälldes. Det finns två sätt att ta reda på kol 14-halten. Dels kan man mäta radioaktiviteten i kolet, dels kan man köra kolet genom en så kallad masspektrograf och räkna kärnorna. Kol 14 har en halveringstid på 5730 år, alltså antalet kärnor halveras på denna tid. Det gör att metoden kan användas för datering upp till kanske 30000 år. Arkeologerna har stor glädje av denna metod. Om förhållandet mellan aktiviteten per gram i ett t år gammalt prov till aktiviteten i ett nytt prov är x gäller att [math]\displaystyle{ x = 2^{-t /T1/2} }[/math] Hur gammalt är provet om m förhållandet x är 1/8? |
Texten från NRCFs frågelåda i Fysik
Befolkningstillväxt
Exempel |
---|
Jordens befolkning växer
Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ? År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder. När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ? Låt oss sätta 2004 som år 0. På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%. Vår modell kunde se ut så här :
Då löser vi ekvationen för när denna monotont växande funktions värde blir störrä än 10.
Vi tar logaritmen av båda sidorna.
Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell. Vi antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året. ( för t = 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ). |
Liket kallnar