Tillämpningar på exponentiell förändring

Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T_½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

Halveringstid

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

[math]\displaystyle{ N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}} }[/math],

där [math]\displaystyle{ T_{1/2} }[/math] betecknar halveringstiden.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Ekonomiska modeller

Uppgifter

Uppgift

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år? Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer. Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?

Kol-14-metoden

C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].

Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (¹⁴C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen ¹²C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen ¹⁴C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Fysikalisk bakgrund

Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är ¹²C och ¹³C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |¹⁴C som genom betasönderfall övergår till kväve. ¹⁴C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.

Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras ¹⁴C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen

[math]\displaystyle{ n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p }[/math]

som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N). ¹⁴C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade ¹⁴C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO₂). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt ¹⁴C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen ¹⁴C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.

[math]\displaystyle{ \mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e }[/math]

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Befolkningstillväxt

Jordens befolkning växer hela tiden. Här kan vi kanske tillämpa en exponentiell modell, men vilken ?

År 2004 hade vi 6.4 miljarder mänskor på jorden och 2010 var det 6.8 miljarder. När överskrider befolkningen 10 miljarder om den tillväxten fortsätter ?

Låt oss sätta 2004 som år 0. På 2010-2004 = 6 år ökade befolkningen med faktorn 6.8/6.4 = 17/16 = 1.0625 eller 6.25%.

Vår modell kunde se ut så här :

[math]\displaystyle{ B(t) = 6.4\cdot (\sqrt[6]{\frac{6.8}{6.4}})^t = 6.4\cdot(\sqrt[6]{1.0625})^t }[/math]

Då löser vi ekvationen för när denna monotont växande funktions värde blir störrä än 10.

[math]\displaystyle{ B(t)\gt 10 }[/math]

Vi tar logaritmen av båda sidorna.

[math]\displaystyle{ \frac{1}{6} \cdot t \cdot \log_{10}(1.0625) \gt \log_{10}{(\frac{10}{6.4})} }[/math]

[math]\displaystyle{ t \gt \frac{6\cdot \log_{10}{(\frac{10}{6.4})}}{\log_{10}(1.0625)} \approx 44.17 }[/math]

Befolkningsmängden på jorden överskrider 10 miljoner under 2048 enligt denna modell.

Vi antar att befolkningsmätningarna inte anger befolkningsmängden vid sista dagen på året. ( för t= 2004 + 44.17 = 2048.17 betyder ca 2 månader efter mätpunkten ).

Exempel 1

Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.

Logaritmer på andra baser

2-logaritmen och 2^x

1/2-logaritmen

Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.