Komplexa tal Ma2c

Teori

Vad ska man ha komplexa tal till?

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

komplexa tal

• Komplexa tal används när man räknar på växelström.
  • Titta på denna ppt från Uppsala.
  • j-omegametoden

Komplexa rötter

Exempel
x2 = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i. x2+3x+16=0 har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

Definition
Komplexa tal [math]\displaystyle{ \sqrt{-1} = i }[/math] [math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math] Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math]. [math]\displaystyle{ z = a + bi }[/math] [math]\displaystyle{ Re z = a }[/math] [math]\displaystyle{ Im z = b }[/math]

Läs mer: Komplexa tal på wikipedia

Inledning

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Magnus Rönnholm, CC

Konjugatet

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

[math]\displaystyle{ \bar{z} = a - b\,\mathrm i }[/math]

För konjugatet gäller

[math]\displaystyle{ \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| \overline{z} \right| = \left| z \right| }[/math]

Absolutbeloppet

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]

eller

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} }[/math]

För absolutbeloppet gäller

[math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]

[math]\displaystyle{ \left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|} }[/math]

Aktivitet

Uppgift

Uppgift
CAS i Geogebra' Lär dig lösa andragradsekvationer med CAS-modulen i GeoGebra. CAS står för Computer Algebra System. GeoGebra Quickstart Tutorial.