[[Bild:Mittpunktsformeln.png|thumb|200px|"P1" är punkten 1, "P2" är punkten 2, och "M" visar var exakt var mitten av punkterna P1 och P2 är. Bilden är tagen från Wikipedia.]]
'''[http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln Mittpunktsformeln]''' är en mattematisk ekvation.
Två punkter P1 och P2 som kan ligga precis var som helst i
ett kordinatsystem, med hjälp av mittpunktsformeln bestämma
punkten mitt emellan Punkt1 och Punkt2 som har benämningen M.
'''Definition 1:'''
(X1,Y1) och (X2,Y2)
(Xm,Ym)= (X1+X2/2),(Y1+Y2/2)
[http://www.youtube.com/watch?v=EhRbyxoD6Io Förklaras i videon]
'''Definition 2:'''
Det gick inte att placera definitionen från Wikipedia, eftersom den inte stöds,
gå in på länken och se efter själv:[http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln Wikipedia, Mittpunktsformeln]
O = Origo.
M = Punkten mellan P1 och P2.
P1 = Punkt1.
P2 = Punkt2.
'''Exepel på problem'''
Du har två punkter (1, -2) och (-3, 5), hitta mittpunkten av de två punkterna med hjälp
av [http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln mittpunktsformeln].
Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin lenje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y 0 kx + m.
Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.
För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:
# två punkter på linjen ''eller''
# en punkt på linjen och dess lutning
}}
En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.
=== Hitta k ===
Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:
: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
=== Hitta m ===
Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.
m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.
: <math> y = kx + m </math>
Då är det ju bara m som är obekant.
{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>'''
: <math> k = 2 </math> och en punkt är <math> (3,5)</math>
Sätter man in värdena så får man:
: <math> 5 = 2 * 3 + m </math>
Vilket ger:
: <math> m= 5 -2 * 3 </math>
: <math> m= 5 -6 </math>
: <math> m= -1 </math>
Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som
: <math> y= 2 x - 1 </math>
}}
== Parallella och vinkelräta linjer ==
Onsdag 10.30-12
s. 110- 112
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.
'''Parallella linjer'''
k<sub>1</sub> = k<sub>2</sub>
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.
Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D. c:
== Allmän form (linjens ekvation) ==
{{svwp |injär_ekvation }}
{{lm2c|allmänn form|113- 115}}
En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:
: <math> Ax + By + C = 0\,</math>
eller på standardform:
: <math> A x +By = C.\,</math>
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt (x_0, y_0) på linjen kan man skriva den på enpunktsform:
: <math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math>
== Verklighetsbaserad uppgift på linjära samband ==
=== Hyr skidutrustning ===
{{uppgfacit|Kostnaden för att hyra skidor i Romme
'''1.''' Priset för en vuxen at hyra skidutrustning under en dag är 270 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 850 kr. Gör en modell för detta och beräkan priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.
'''2.''' Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden?
http://www.rommealpin.se/priser-1__1053
|Se ett [http://wikiskola.se/images/Romme_skidhyra.xlsx diagram över Rommepriserna] här.
"P1" är punkten 1, "P2" är punkten 2, och "M" visar var exakt var mitten av punkterna P1 och P2 är. Bilden är tagen från Wikipedia.
Mittpunktsformeln är en mattematisk ekvation.
Två punkter P1 och P2 som kan ligga precis var som helst i
ett kordinatsystem, med hjälp av mittpunktsformeln bestämma
punkten mitt emellan Punkt1 och Punkt2 som har benämningen M.
Det gick inte att placera definitionen från Wikipedia, eftersom den inte stöds,
gå in på länken och se efter själv:Wikipedia, Mittpunktsformeln
O = Origo.
M = Punkten mellan P1 och P2.
P1 = Punkt1.
P2 = Punkt2.
Exepel på problem
Du har två punkter (1, -2) och (-3, 5), hitta mittpunkten av de två punkterna med hjälp
av mittpunktsformeln.
K = lutningen. Man kan räkna ut K om man har två koordinater t ex x1-x2/y1-y2 = K
M = Var linjen skär y-axeln
Exempel uträkning med koordinater.
(-1,1) (1,5)
y= valfri Y-koordinat, vi väljer 5. Formeln blir då 5=kx+m
vi räknar ut k
k=(x1-x2)/(y1-y2)= 5-1/1-(-1) = 4/2 = 2, k=2. Formeln blir då 5 = 2x+m
x = 1. Formeln blir: 5 = 2*1+m. Tar bort 2 på båda sidor.
M= 3
Undersök med Geogebra-applet: Räta linjens ekvation
Erika anställer en städslav och får betala för 4 timmar 450 kr och för 9 timmar 990 kr
Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är avgiften Erika måste betala?
Uträkning till fråga 1
Tänk så här:
Kostnaden ökar med
990kr-450kr= 540kr
Tiden ökar med 9-4= 5timmar
990-450/9-5=540/2= 225
Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin lenje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y 0 kx + m.
Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.
Definition
Att hitta räta linjens ekvation
För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:
två punkter på linjen eller
en punkt på linjen och dess lutning
En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.
Hitta k
Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:
[math]\displaystyle{ k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} }[/math]
Hitta m
Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.
m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.
[math]\displaystyle{ y = kx + m }[/math]
Då är det ju bara m som är obekant.
Exempel
Bestäm m
[math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] och en punkt är [math]\displaystyle{ (3,5) }[/math]
Sätter man in värdena så får man:
[math]\displaystyle{ 5 = 2 * 3 + m }[/math]
Vilket ger:
[math]\displaystyle{ m= 5 -2 * 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ m= 5 -6 }[/math]
[math]\displaystyle{ m= -1 }[/math]
Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som
[math]\displaystyle{ y= 2 x - 1 }[/math]
Parallella och vinkelräta linjer
Onsdag 10.30-12
s. 110- 112
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.
Parallella linjer
k1 = k2
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.
En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:
[math]\displaystyle{ Ax + By + C = 0\, }[/math]
eller på standardform:
[math]\displaystyle{ A x +By = C.\, }[/math]
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt (x_0, y_0) på linjen kan man skriva den på enpunktsform:
[math]\displaystyle{ y-y_0 = k(x-x_0)\, }[/math]
Verklighetsbaserad uppgift på linjära samband
Hyr skidutrustning
Uppgift: Kostnaden för att hyra skidor i Romme
1. Priset för en vuxen at hyra skidutrustning under en dag är 270 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 850 kr. Gör en modell för detta och beräkan priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.
.svg)
