Potensfunktioner

Teori

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Mikael Bondestam om potensfunktionen, 2.47 min.

Definition
[math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math] är en potensfunktion

Potensfunktioner med a = 1, 3 och 5

En potensfunktion är en funktion av typen [math]\displaystyle{ f(x) = x^a }[/math], där a är en konstant. Några exempel på potensfunktioner:

• [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = x^{3,5} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = x = x^{1} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} = x^{0,5} }[/math]

Det förekommer att även funktioner av typen [math]\displaystyle{ f(x) = k \cdot x^a }[/math] kallas potensfunktioner.

Några egenskaper för potensfunktioner:

• Om exponenten a är ett jämnt tal är funktionens värde noll eller positivt (förutsatt att definitionsmängden är reell). Detta följer av att även negativa x-värden blir positiva när de kvadreras.
• Om exponenten a är positiv är f(0) = 0.
• Om exponenten a är negativ divergerar funktionen vid x = 0, det vill säga att funktionens värde blir obegränsat stort/litet när x närmar sig noll.
• Om exponenten a inte är ett heltal finns inga reella värden för potensfunktionen då x är mindre än noll och man brukar därför vanligtvis använda definitionsmängden x ≥ 0 i dessa lägen.

Potensfunktioner liknar exponentialfunktioner i sin form, eftersom båda innehåller potenser, men har radikalt andra egenskaper.

Texten från Wikipedia

Aktivitet

Rita funktioner i GeoGebra

Uppgift
Undersök några potensfunktioner i GeoGebra. Testa funktionerna från teoriavsnittet: [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = x^{3,5} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = x = x^{1} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} = x^{0,5} }[/math] [math]\displaystyle{ f(x) = - x^2 + 3x - 2 }[/math]

Lös ett klassiskt fysikproblem med GeoGebra

Uppgift

Rörelseenergi Coconut tree in Kannur Beach, India Rörelseenergin, [math]\displaystyle{ E }[/math], hos ett föremål ökar med kvadraten på hastigheten enligt formeln: [math]\displaystyle{ E_r\,=\,m\frac{v^2}{2} }[/math] där [math]\displaystyle{ m }[/math] är massan och [math]\displaystyle{ v }[/math] hastigheten. Använd GeoGebra för att ta reda på vid vilken hastighet ett föremål som väger 15 kg har rörelseenergin 2500 J. Lägg in en linje för [math]\displaystyle{ y = 2500 }[/math] så ser du skärningspunkten. Lägg nu in en glidare för m och undersök vilken hastighet som ger energin 2500 J om massan är 1 kg, 5 kg respektive 55 kg. Lägesenergi (Fördjupning) Lägesenergin ges av [math]\displaystyle{ E_l\,=\,m\,g\,h }[/math] där tyngdaccelerationen [math]\displaystyle{ g = 9.82 }[/math] och [math]\displaystyle{ h }[/math] är höjden. Använd GeoGebra: Vilken hastighet har en kokosnöt just innan den når marken om den fallit från en 30 m hög palm? Använd algebra: Sätt energierna lika och skriv om formeln så att du löser ut[math]\displaystyle{ v }[/math]. Beräkna sedan hatigheten. Plotta din nya funktion.