Derivatan av y = e^x: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 33: | Rad 33: | ||
== Härledning == | == Härledning == | ||
Vid derivering av exponentialfunktioner av typen <math>a^x</math> , där <math>a</math> är en konstant uppkommer detta mönster. | |||
<math>f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}</math> | |||
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h} </math> | |||
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}a^x\cdot\frac{a^h-1}{h} </math> | |||
Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen <math> </math> som: | |||
<math>a^x\cdot k </math> , där <math>k=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} </math> | |||
Om exempelvis värdet 2 insätts för a <math>a </math> går <math>k </math> mot <math>\approx </math> 0.69 | |||
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen <math>2^x </math> följande: | |||
<math>f(x)=2^x</math> | |||
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}2^x\cdot\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\cdot2^x </math> | |||
Om exempelvis värdet 3 insätts för a <math>a </math> går <math>k </math> uttryck mot <math>\approx </math> 1.1 | |||
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen <math>3^x </math> följande: | |||
<math>f(x)=3^x</math> | |||
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}3^x\cdot\frac{3^h-1}{h}\approx1.1\cdot3^x </math> | |||
Alltså ska talet som medför att <math>k=\frac{a^h-1}{h}=1 </math> befinna sig mellan 2 och 3. Detta tal har ett ungefärligt värde på 2.71828 och definieras som '''''e'''''. | |||
Om följaktligen deriverar exponentialfunktionen <math>e^x </math> blir derivatan följande: | |||
<math>f(x)=e^x </math> | |||
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}=1\cdot e^x=e^x </math> | |||
Derivatan för funktionen <math>e^x </math> motsvarar därför sig själv. Alltså: | |||
<math>f(x)=e^x </math> | |||
<math>f'(x)=e^x </math> | |||
== Derivera en exponentialfunktion == | == Derivera en exponentialfunktion == | ||
Versionen från 8 april 2016 kl. 09.58
Rubriktext
Inledning
Talet e är den matematiska konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen, ln. Dess värde är ungefär lika med 2,71828. "e" fick sin nuvarande beteckning av Leonhard Euler och kallas efter honom ibland Eulers tal. Talet är viktigt i bland annat matematisk analys och förekommer lite varstans i matematiken. Till exempel råder följande samband mellan nio av matematikens mest använda objekt:
- [math]\displaystyle{ e^{i \pi} + 1 = 0 }[/math]
Objekten som avses är operationerna addition, multiplikation, exponentiering och relationen likhet, samt talen e, π, i, 1 och 0. (Symbolen i betecknar den så kallade imaginära enheten och är det objekt med vilken de komplexa talen är uppbyggda.) Sambandet kallas Eulers identitet.
Wikipedia skriver om talet (e)
Exponentialfunktionen
| Definition |
|---|
|
Härledning
Vid derivering av exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] , där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant uppkommer detta mönster.
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}a^x\cdot\frac{a^h-1}{h} }[/math]
Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ }[/math] som:
[math]\displaystyle{ a^x\cdot k }[/math] , där [math]\displaystyle{ k=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} }[/math]
Om exempelvis värdet 2 insätts för a [math]\displaystyle{ a }[/math] går [math]\displaystyle{ k }[/math] mot [math]\displaystyle{ \approx }[/math] 0.69
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ 2^x }[/math] följande:
[math]\displaystyle{ f(x)=2^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}2^x\cdot\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\cdot2^x }[/math]
Om exempelvis värdet 3 insätts för a [math]\displaystyle{ a }[/math] går [math]\displaystyle{ k }[/math] uttryck mot [math]\displaystyle{ \approx }[/math] 1.1
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ 3^x }[/math] följande:
[math]\displaystyle{ f(x)=3^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}3^x\cdot\frac{3^h-1}{h}\approx1.1\cdot3^x }[/math]
Alltså ska talet som medför att [math]\displaystyle{ k=\frac{a^h-1}{h}=1 }[/math] befinna sig mellan 2 och 3. Detta tal har ett ungefärligt värde på 2.71828 och definieras som e.
Om följaktligen deriverar exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ e^x }[/math] blir derivatan följande:
[math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}=1\cdot e^x=e^x }[/math]
Derivatan för funktionen [math]\displaystyle{ e^x }[/math] motsvarar därför sig själv. Alltså:
[math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math]
Derivera en exponentialfunktion
Använd derivatans definition på exponentialfunktionen