Derivatan av y = e^x

Rubriktext

Sid 184-188 - Talet e och derivatan av f(x)=e^x

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Inledning

Funktionsgrafer till kurvor på formen f(x) = a^x visas för ett antal värden på a. Talet e är det enda a som gör att derivatan av f(x) = a^x vid x=0 är lika med 1. Det illustreras genom att den blå kurvan, e^x, tangeras av den röda linjen (som har lutningen 1) i punkten (0,1). Som jämförelse visas även 2^x (prickad kurva) och 4^x (streckad kurva), som inte har den röda linjen som tangent.

Talet e är den matematiska konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen, ln. Dess värde är ungefär lika med 2,71828. "e" fick sin nuvarande beteckning av Leonhard Euler och kallas efter honom ibland Eulers tal. Talet är viktigt i bland annat matematisk analys och förekommer lite varstans i matematiken. Till exempel råder följande samband mellan nio av matematikens mest använda objekt:

$e^{i\pi }+1=0$

Objekten som avses är operationerna addition, multiplikation, exponentiering och relationen likhet, samt talen e, π, i, 1 och 0. (Symbolen i betecknar den så kallade imaginära enheten och är det objekt med vilken de komplexa talen är uppbyggda.) Sambandet kallas Eulers identitet.

Wikipedia skriver om talet (e)

Exponentialfunktionen

Definition
Exponentialfunktionen Om $f(x)=e^x$ så är $f^{\prime }(x)=e^x$ Om $f(x)=e^{kx}$ så är $f^{\prime }(x)=k{e}^{kx}$

Definition: $e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n=\underset{h\to 0}{lim}(1+h{)}^{\frac{1}{h}}$

Härledning

$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{k(x+h)}-e^{kx}}{h}=\\ \\ & =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{kx}(e^{kh}-1)}{h}=\\ \\ & =& e^{kx}\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{kh}-1}{h}=\\ \\ & =& e^{kx}\underset{h\to 0}{lim}\frac{(e{)}^{kh}-1}{h}=\\ \\ & =& e^{kx}\underset{h\to 0}{lim}\frac{((1+h{)}^{\frac{1}{h}}{)}^{kh}-1}{h}=\\ \\ & =& e^{kx}\underset{h\to 0}{lim}\frac{(1+h{)}^k-1}{h}=\\ \\ & =& e^{kx}\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})1^{k-i}{h}^i}{h}=\\ \\ & =& e^{kx}\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})h^i}{h}=\\ \\ & =& e^{kx}\underset{h\to 0}{lim}\sum _{i=1}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})h^{i-1}h=\\ \\ & =& e^{kx}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1})=\\ \\ & =& k{e}^{kx}\end{array}$

Vid derivering av exponentialfunktioner av typen $a^x$ , där $a$ är en konstant uppkommer detta mönster.

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^x(a^h-1)}{h}$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{a}^x\cdot \frac{a^h-1}{h}$

Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen som:

$a^x\cdot k$ , där $k=\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}$

Om exempelvis värdet 2 insätts för a $a$ går $k$ mot $\approx$ 0.69

Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen $2^x$ följande:

$f(x)=2^x$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{2}^x\cdot \frac{2^h-1}{h}\approx 0.69\cdot 2^x$

Om exempelvis värdet 3 insätts för a $a$ går $k$ uttryck mot $\approx$ 1.1

Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen $3^x$ följande:

$f(x)=3^x$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{3}^x\cdot \frac{3^h-1}{h}\approx 1.1\cdot 3^x$

Alltså ska talet som medför att $k=\frac{a^h-1}{h}=1$ befinna sig mellan 2 och 3. Detta tal har ett ungefärligt värde på 2.71828 och definieras som e.

Om följaktligen deriverar exponentialfunktionen $e^x$ blir derivatan följande:

$f(x)=e^x$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{e}^x\cdot \frac{e^h-1}{h}=1\cdot e^x=e^x$

Derivatan för funktionen $e^x$ motsvarar därför sig själv. Alltså:

$f(x)=e^x$

$f^{\prime }(x)=e^x$

Derivera en exponentialfunktion

Använd derivatans definition på exponentialfunktionen

Definition av talet e

e kan också definieras som gränsvärdet

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$.

Detta beror på följande samband

$\underset{h\to 0}{lim}\cdot \frac{e^h-1}{h}=1$

$\underset{n\to 0}{lim}{e}^h-1=h$

$e=\underset{n\to 0}{lim}(1+h{)}^{\frac{1}{h}}$

Sätt $\frac{1}{h}=n$, där $n\to \mathrm{\infty }$ då $h\to 0$

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$

e

De sju första elementen i talföljden {(1+1/n)ⁿ}Mall:Sup sub    är följande:

$29/464/27625/2567776/3125117649/466562097152/823543$

I decimalform, avrundat till tre decimaler:

$2\mathrm{2,250}\mathrm{2,370}\mathrm{2,441}\mathrm{2,488}\mathrm{2,522}\mathrm{2,546}$

Talföjden konvergerar tydligen ganska långsamt mot talet e.

Wikipedia skriver om e(tal)