Andraderivatan

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Sid 156-158 - Andra derivatan och bestämning av max- och minpunkter

Definition
Om förstaderivatan är noll i en punkt och andraderivatan är negativ är det ett lokalt maximum är positiv är det ett lokalt minimum Om andraderivatan är noll så vet vi inte utan behöver göra teckenstudium.

Exempel

För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3 }[/math] för [math]\displaystyle{ 0\leq x\leq 2 }[/math] beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen. [math]\displaystyle{ f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\} }[/math] Eftersom andraderivatan är [math]\displaystyle{ f''(x) = 6 x - 4\, }[/math] så är [math]\displaystyle{ f''(1/3) = -2 \lt 0\, }[/math] och [math]\displaystyle{ f''(1) = 2 \gt 0\, }[/math]. Värdena i randpunkterna är [math]\displaystyle{ f(0) = -3 }[/math] respektive [math]\displaystyle{ f(2) = -1 }[/math]. Följaktligen har funktionen f en lokal maximipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1/3 }[/math] och en lokal minimipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]. Respektive extremvärden är [math]\displaystyle{ f(1/3) = -77/27 }[/math] och [math]\displaystyle{ f(1) = -3 }[/math]. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).